北师大版数学选修4-4 坐标系与参数方程《第二章 参数方程 本章小结建议》优质课教案

北师大版数学选修4-4 坐标系与参数方程《第二章 参数方程 本章小结建议》优质课教案

[解析]　由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝ \r(t)，)) 得y＝ eq \r(x) ，又由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cos θ，,y＝\r(2)sin θ，))

得x2＋y2＝2.

由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,x2＋y2＝2，)) 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))

即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．

[答案]　(1,1)

[例2]　已知曲线C的参数方程为

eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)－\f(1,\r(t))，,y＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t))))) (t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．

[解]　因为x2＝t＋ eq \f(1,t) －2，所以x2＋2＝t＋ eq \f(1,t) ＝ eq \f(y,3) ，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.

[例3]　已知参数方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))sin θ，　①,y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))cos θ， ②)) (t≠0)．

(1)若t为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？

(2)若θ为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？

[解]　(1)当t≠±1时，由①得sin θ＝ eq \f(x,t＋\f(1,t)) ，

由②得cos θ＝ eq \f(y,t－\f(1,t)) .

∴ eq \f(x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))2) ＋ eq \f(y2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))2) ＝1.

它表示中心在原点，长轴长为2|t＋ eq \f(1,t) |，

短轴长为2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t))) ，焦点在x轴上的椭圆．

当t＝±1时，y＝0，x＝±2sin θ，x∈[－2,2]，

它表示在x轴上[－2,2]的一段线段．

(2)当θ≠ eq \f(kπ,2) (k∈Z)时，由①得 eq \f(x,sin θ) ＝t＋ eq \f(1,t) .

由②得 eq \f(y,cos θ) ＝t－ eq \f(1,t) .

平方相减得 eq \f(x2,sin2θ) － eq \f(y2,cos2θ) ＝4，即 eq \f(x2,4sin2θ) － eq \f(y2,4cos2θ) ＝1，

它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为4|cos θ|，

焦点在x轴上的双曲线．

当θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，它表示y轴；

当θ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)时，y＝0，x＝±(t＋ eq \f(1,t) )．