选修4-5 不等式选讲《第二章 几个重要的不等式 1 柯西不等式 习题2—1》优秀教案

选修4-5 不等式选讲《第二章 几个重要的不等式 1 柯西不等式 习题2—1》优秀教案

重点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式.

难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式.

教学过程

1．二维形式的柯西不等式

若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

师生互动：证明

2．柯西不等式的向量形式

设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

师生互动：证明

提出问题：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？

提示：不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．

例1　设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．

[分析]　本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：·≥a＋b，

即·≥a＋b，

同理：·≥b＋c，·≥a＋c，

将上面三个同向不等式相加得：

(＋＋)≥2(a＋b＋c)，

∴＋＋≥·(a＋b＋c)．

例2　设a，b，c，d是4个不全为零的实数，求证：

≤ .

[分析]　本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件．

ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad)

≤＋

＝·＋

≤·＋