北师大版选修4-5 不等式选讲《第二章 几个重要的不等式 1 柯西不等式 习题2—1》优秀教案设计

北师大版选修4-5 不等式选讲《第二章 几个重要的不等式 1 柯西不等式 习题2—1》优秀教案设计

对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥__________________，当向量______________与向量________________共线时，等号成立．

(2)简单形式的柯西不等式的向量形式：

设α＝(a，b)，β＝(c，d)是平面上任意两个向量，则______≥|α·β|，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．

(1)二维形式的柯西不等式的推论：

①(a＋b)(c＋d)≥( eq \r(ac) ＋ eq \r(bd) )2(a，b，c，d为非负实数)；

② eq \r(a2＋b2) · eq \r(c2＋d2) ≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；

③ eq \r(a2＋b2) · eq \r(c2＋d2) ≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．

(2)二维形式的三角不等式：

① eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)) ＋ eq \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)) ≥ eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2) (x1，y1，x2，y2∈R)；

②推论： eq \r(?x1－x3?2＋?y1－y3?2) ＋ eq \r(?x2－x3?2＋?y2－y3?2) ≥ eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2) (x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．

【做一做1－1】已知不等式(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y))) ≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)．

A．2 B．4 C．6 D．8

【做一做1－2】已知x＋2y＝1，则x2＋y2的最小值为________．

2．一般形式的柯西不等式

(1)定理2：

设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a eq \o\al(2,1) ＋a eq \o\al(2,2) ＋…＋a eq \o\al(2,n) )__________________≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量______________与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．

(2)推论(三维形式的柯西不等式)：

设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a eq \o\al(2,1) ＋a eq \o\al(2,2) ＋a eq \o\al(2,3) )(b eq \o\al(2,1) ＋b eq \o\al(2,2) ＋b eq \o\al(2,3) )≥________________．当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立．

【做一做2－1】设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________．

【做一做2－2】已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)．

A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,5)

答案：

1．(1)(ac＋bd)2　(a，b)　(c，d)

(2)|α||β|

【做一做1－1】B　由柯西不等式可求出(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y))) ≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)·\f(1,\r(x))＋\r(y)·\f(\r(a),\r(y)))) 2＝(1＋ eq \r(a) )2，当x＝1，y＝ eq \r(a) 时，(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y))) 能取到最小值( eq \r(a) ＋1)2，故只需(1＋ eq \r(a) )2≥9，即a≥4即可．