沪教版数学高一上册《第2章 不等式 2.4 基本不等式及其应用 探究与实践 课题一 最大容积问题》优质课教案

沪教版数学高一上册《第2章 不等式 2.4 基本不等式及其应用 探究与实践 课题一 最大容积问题》优质课教案

教学重点与难点：

1．从实际问题中抽象出数学模型并探索问题的解决方法。

2．用类比方法推广基本不等式。

教学过程：

由实际问题出发，引出“求盒子容积的最大值”问题。

经过讨论，将上述问题转化为求函数V=x(1-2x)2, x∈(0 , 0.5)，的最大值问题。

探索上述问题的解。

分组讨论求解上述问题的方法，教师将设置好表头的Excel表格文件传送给学生：

A B C x 1-2x x(1-2x)2 … … … 每个小组的学生对x赋值，得出相应的1-2x和x(1-2x)2的值。学生通过将C栏V的一系列值进行排序，猜想V的最大值。

x 1-2x x(1-2x)2 1/36 17/18 2/81 1/18 8/9 4/91 1/12 5/6 4/69 1/9 7/9 1/15 5/36 13/18 5/69 1/6 2/3 2/27 7/36 11/18 4/55 2/9 5/9 5/73 1/4 1/2 1/16 5/18 4/9 4/73 11/36 7/18 3/65 1/3 1/3 1/27 13/36 5/18 1/36 7/18 2/9 1/52 5/12 1/6 5/432 4/9 1/9 4/729 17/36 1/18 1/686 各个小组交流结果，并通过设置计算机共享，共享各组的成果，得出V的最大值为　2/27。

显示散点图，得到函数V=x(1-2x)2的拟合曲线

探究解决问题的依据。

由x(1-2x)2≤2／27， x∈(0 , 0.5)引出基本不等式的推广问题。在讨论的基础上，让学生猜想可能得到的结论。

交流各组的猜想，引导学生对所猜想的结论予以验证，对不正确的结论给出反例。在此基础上得到关于三个正实数的基本不等式：

如果a,b,c∈R+,那么a3 +b3+c3≥3abc。

阅读上述不等式的证明过程。

5．利用基本不等式得到实际问题的解，从而对猜想的结论予以验证。

《最大容积问题》教学设计说明

1．教材背景：这是高一第一册第二章的一个课题。在学习了关于两个正实数的基本不等式后，教材通过设置“求盒子容积的最大值”这一问题情境，引导学生关注现实生活中的数学问题，关注数学知识的应用，并通过建模、探索、猜想、论证的过程最终解决实际问题，使学生有一种亲身的经历与体验，有一份兴趣和成就感。这是高一学生首次接触的数学课题，在课堂上引导学生完成这一课题，可以为学生今后自行进行课题研究打下基础。与教材中的其他课题相比，这个课题较小，可以在课堂上完成。

2．学生背景：学生已经学习了不等式的基础知识，对不等式的推广也有过尝试，在计算机课上也已学习了Excel的相关操作。平时有进行小组学习、讨论的习惯，与老师关系融洽，能够畅所欲言。

3．研究主题：求盒子容积的最大值，为此需得出关于三个正实数的一个基本不等式。

4．设计思路和理论依据： ① “以学生发展为本”的理念应当在数学教学的过程中予以体现，数学教学应为学生今后的终身发展创造条件； ② 学生是学习的主体，教师是学生学习的指导者，学习是学生自主发展，自我深化的过程；③开展研究性学习，开展合作学习，努力实现学生学习方式的转变；④实现现代技术与学科技术的整合。基于上述想法，本节课的设计思路是：让学生体验数学知识可用于解决实际问题，通过计算机探索问题的结论，提出猜想，并研究解决问题的理论依据。由此培养学生的数学建模素养和逻辑推理素养。

5.教学反思：这节课的教学设计是从生活中的实际问题出发引发思考，为了解决这一实际问题，需寻求理论上的支持，在找到理论依据后，再作用于实际问题中。学生由此体会到数学是来源于生活的，并可服务于生活实际。在寻找结论的过程中，通过学生动手实践提高学生的学习兴趣。教学设计给了学生较大的活动空间，符合学生的认知规律，具有合理性。学生在课堂上能积极活动，主动思维，提高了课堂效率。

本节课学生经历了将实际问题进行数学抽象、建模求解的全过程，这种经历对于学生今后的发展无疑是有益的。

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