沪教版高一下册《第6章 三角函数 二 反三角函数与最简三角方程 6.5 最简三角方程 探究与实践 课题四 制作管道》优秀教案设计

沪教版高一下册《第6章 三角函数 二 反三角函数与最简三角方程 6.5 最简三角方程 探究与实践 课题四 制作管道》优秀教案设计

二、教学重点、难点：

重点：构建数学模型、运用三角知识解决实际问题。

难点：数学模型的建立。

三、教学过程：

展示图片，解释课题四在实际生活中产生的背景，引出问题“大口径的管道用钢板卷曲焊接而成，请设计钢板切割方案，标出焊缝位置。”

学生实验操作：

提供给学生圆柱形物体、可裁成任意宽度纸带的纸张、剪刀、胶带。请同学动手实验探究。

生1：用纸带缠绕圆柱形物体，用铅笔在纸带上做好剪裁记号，摊开纸带裁去多余部分。

生2：用胶带包裹好圆柱体模型（无盖），将圆柱侧面沿胶带接缝螺旋线剪开。

学生操作后还可以将圆柱一边在黑板上滚动，一边将其剪开的侧面展开并粘于黑板上，让大家体会刚才的操作过程。

生3：缠绕一个长为圆柱高，宽为圆柱底面半周长的矩形。

启发：空调是把送风管、排冷凝水管、电线包裹缠绕在一起，形状不一定是圆柱，那会有什么不同呢？比如缠绕包裹的对象不是圆柱，而是一个正三棱柱、正四棱柱、任意直棱柱或者一把直尺呢？

纸制的侧面即可以是一个圆柱的侧面，也可以折成任意等高，等底面周长的任意直棱柱侧面。

这样运用拓扑思想把立几问题平几化，思考起来更为简单。

（黑色粗线条处为折痕。）实际使用纸带的长度为：

学生发现问题：切割方案主要由一个角度决定，（裁去直角三角形的一个锐角或者剪裁为平行四边形纸带的一个内角）。纸带不同或圆柱不同得到的角度也不同。

学生提出问题：进一步关注这个角度与哪些变量有关。

学生解决问题：

1、引导学生建模解决问题：

角度的大小与纸带的宽度、圆柱底面周长有关。故设纸带宽为 ，圆柱底面半径为 ，高为 。设纸带被裁为平行四边形后一个锐内角 。

已知：纸带宽为 ，圆柱底面半径为 ，高为 。

求：①纸带被裁为平行四边形后一个锐内角 ；②所需纸带的长度。

解：如图所示：

， ，

，而