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师梦圆高中数学教材同步沪教课标版高二上册8.2 向量的数量积下载详情
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沪教版高二上册数学《第8章 平面向量的坐标表示 8.2 向量的数量积 》优秀教学设计

3.理解掌握两向量共线、垂直的几何判定.

  4.理解掌握平面向量数量积的五个重要性质.

  教学重点和难点

  重点:本节课是全章的重点内容,所有内容都非常重要,主要有:平面向量夹角的概念;平面向量数量积的定义;平面向量数量积的几何意义;平面向量共线、垂直的判定;平面向量数量积的五个重要性质.

  难点:对平面向量数量积的定义,平面向量数量积的几何意义,平面向量数量积的五条重要性质的正确理解和掌握.

  教学过程设计

  (一)学生阅读课文.

  阅读思考题:

  (1)怎样定义平面内两向量的夹角.

  (2)什么是平面向量的数量积,它的几何意义是什么?

  (3)怎样应用平面向量的数量积判断两直线的垂直和平行.

  (4)平面向量的数量积有那些重要性质.

  (二)教师在学生回答思考题的基础上进行讲评.

  1.平面向量的夹角:

  (1)两向量的夹角:已知非零向量 ,作 ,∠AOB=θ,(0≤θ≤π)叫做向量 与 的夹角.当θ=0时, 与 同向;当θ=π时, 与 反向.

  (2)两向量的垂直:如果 与 的夹角是90°,则说 与 垂直,记作 .

  2.平面向量的数量积:

  已积两个非零向量 和 ,它们的夹角为θ,把数量|a|·|b|cosθ叫做 与 的数量积(内积、点积)记作 ,即 cosθ.并且规定零向量与任一向量的数量积为0.

  (1)两个平面向量的数量积是一个数量,不是向量,它的值等于两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.

  (2)两平面向量的数量积 与数a与数b的积a·b不同, 的数值与向量的夹角有关,而a·b没有这一因素,因之二者有不同之处.

  如当a≠ 时,由 =0不能推出 一定是零向量,这是因为任一与 垂直的非零向量即有 =0,这与a·b=0,则a=0或b=0不同.

  又如,已知实数a、b、c,(b≠0)由ab=bc我们可以推出a=c,但对于向量,这种推理是不正确的. 并不能一定推出 .

   即 cos = cos 这里 表示向量 与 的夹角, 表示向量 与 的夹角,由 cos = cos 可推得, ,推不出 .

  3.两向量共线与垂直的判定

  两向量共线,若 与 共线同向,θ=0.则 ;若 与 共线反向,θ=π,则