沪教版高二上册数学《第7章 数列与数学归纳法 二 数学归纳法 7.5 数学归纳法的应用》优秀教学设计

沪教版高二上册数学《第7章 数列与数学归纳法 二 数学归纳法 7.5 数学归纳法的应用》优秀教学设计

精神。 教学重点与难点 用数学归纳法证明等式和简单的整除问题。 教学过程

复习引入：

学生概括用数学归纳法证明与正整数n有关的命题的步骤。

二、数学归纳法的两个步骤之间的关系：

活动1：

教师给出数学家费尔马的一个猜想，请同学思考并回答猜想错误的原因，并由此思考：如果只完成数学归纳法的第(ⅰ)步而缺少第（ⅱ）步会产生什么问题？

总结：如果只完成数学归纳法的第(ⅰ)步而缺少第（ⅱ）步就属于不完全归纳法，只得到了有限个命题的真实性。

活动2：

教师给出假命题： ，请学生对该命题只完成数学归纳法的第（ⅱ）步证明。并由此思考如果只完成数学归纳法的第（ⅱ）步而缺少第(ⅰ)步，可能会出现什么问题？

总结：如果只完成数学归纳法的第（ⅱ）步而缺少第(ⅰ)步，命题可能仍然具有递推性，但第（ⅱ）步的假设就失去了正确的基础，证明也就没有意义，所以命题的正确性不可靠。

强调：数学归纳法的两个步骤缺一不可，相互配合。第(ⅰ)步为证明命题的正确奠定了基础，第（ⅱ）步实现了数学归纳法的递推过程，两个步骤是数学归纳法的核心。数学归纳法是在当命题对 的第一个值正确的基础上，以一次的论证替代了无穷次的逐一验证，实现了从有限到无限的飞跃。

三、典例选讲

例1. 试判断下面的证明过程是否正确，如果不正确，指出错在哪里并证明。

用数学归纳法证明：

证明：(ⅰ) 当n=1时，左边=1，右边= ，等式成立。

　 　（ⅱ）假设当 时等式成立，即

　　 根据(ⅰ) 和（ⅱ）可以断定，等式对任何n∈N*都成立。

总结：在第（ⅱ）个步骤中证明当n=k+1命题也成立时，必须用到归纳假设，

例2. 用数学归纳法证明：

总结：数学归纳法的第（ⅱ）个步骤是难点和关键：要充分利用归纳假设；在命题从n=k到n=k+1的转化的过程中，及时把结论和推导过程对比（两边凑），从而发现所要证明的式子，以减小计算的复杂程度，使问题的证明有目的性．

例3. 用数学归纳法证明：

总结：证明过程中需根据等式的特点，分析等式左右项数的变化情况。