沪教版高二下册《第12章 圆锥曲线 阅读材料》优秀教案设计

沪教版高二下册《第12章 圆锥曲线 阅读材料》优秀教案设计

问题提出与解决的过程中优化数学思维品质，复习解析几何相关知识与方法。

【教学过程】

几何画板页面说明：

1平行弦AB中点的轨迹动画演示（例题）

2平行弦AB的三等分点的轨迹动画演示（问题2.1）

3三角形OAB面积的最值动画演示（问题1.2）

4旋转弦AB的中点的轨迹动画演示（问题2.2）

5椭圆上是否存在两点关于直线对称（问题1.4）

例题：（课本P50例5）求椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹方程。

设计说明：作业展示——师生合作评价——几何画板动画演示

解法1：（课本解法）设平行弦AB所在直线的方程为，于是点A、B的坐标 为方程组的实数解。消去得，当即时，方程有两个不同的实数根，即弦AB存在。设弦AB的中点M的坐标为，

即 ，且

从而弦AB的中点M的轨迹方程为 。

解法2：设平行弦与椭圆交于，线段AB的中点坐标为，则，两式相减得

∵，∴，将代入上式，得（1） 将（1）与椭圆方程联立，利用，同样可得

所求轨迹为直线（1）在椭圆的内部。

解法3：（伸缩变换）设，则，即动点在单位圆上。斜率为1的平行弦即通过变换后即斜率为2的平行弦，于是在伸缩变换下原问题即：单位圆中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。根据圆的性质易知轨迹方程为，

从而原问题中的轨迹方程为（在椭圆内部分）

注：作业展示环节，让学生本人及其他人指出解答中需要完善的地方。

归纳如下：

①设点的不规范（一般动点的坐标设为）；

②将直线方程与椭圆方程联立后有两个解，即不写或忽略；

③所求方程在表示曲线一部分时，没有说明，如本例两种写法“”、“在椭圆的内部”都可以。

思考：通过对例题条件与结论的更改，能否提出一些有价值的问题？

说明：原例题中的条件“椭圆”、“”、“斜率为的平行弦”、“中点”、“轨迹”通过类比、一般化、变式、逆向等方法提出有价值的问题，并将问题展示在黑板上。