沪教版数学高二下册《第12章 圆锥曲线 阅读材料》优质课教案

沪教版数学高二下册《第12章 圆锥曲线 阅读材料》优质课教案

二、教学重点与难点

重点：利用折纸生成椭圆，并从椭圆定义的角度对生成过程进行剖析

难点：折痕所在直线与椭圆交点个数的判断，以及椭圆的光学性质。

三、教学设计

1、观看视频小故事，思考给我们的启示:

相传,在意大利西西里岛有一个山洞,很久以前叙拉古的暴君杰尼西亚把他的一些囚犯关在这个山洞里,囚犯们忍受不了非人的生活,多次密谋逃跑.但是每次的计划都会被杰尼西亚发现了.起初,囚犯们怀疑自己的同伴中有内奸,他们互相猜疑,彼此指责,但是始终没有发现任何一个同伴会告密.后来渐渐觉察到囚禁他们的山洞形状古怪,洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒的耳朵里去了.囚犯们诅咒这个山洞是"杰尼西亚的耳朵".

原来山洞的剖面近似于椭圆.如图,囚犯们聚居地地方恰好在一个焦点附近.狱卒在另一个焦点偷听.无论囚犯们怎样压低嗓门,他们的低声细语照样被狱卒偷听得一清二楚。正是“声非加疾也，而闻者彰。”

那么,为什么把声源放在一个焦点处,从它发出的声音都会在另一个焦点处汇集呢?今天我们就来研究这个问题.

补充知识：在物理学中，反射原理是入射光线、反射光线和法线在同一平面；入射光线和反射光线分居法线两侧；入射角等于反射角。入射光线、反射光线以及垂直于表面的光线在同一个平面，所以其数学问题可以在一个平面内讨论。

反射原理可用于光滑曲面,只要这个曲面处处存在切平面。

反射原理可用于电磁波(如光波和无线电波)和声波

设计说明：数学源于对现实世界的抽象。本节课用小视频引入，使得内容情景化，然后将故事中的问题抽象成一个数学问题进行研究。

2、 先来个折纸实验游戏

给每个学生分发一张纸片，上面画有圆C，圆内有一个给定的点A（不是点C），指导学生如下作图：任取圆上一点,作为线段A的中垂线（中垂线相当于将纸片折叠，使得A与重合的折痕所在直线）；再取圆上的点，作出线段A的中垂线；重复上面的过程，......,

3、分析生成的数学结论

观察中垂线在纸片上的分布，并猜测由所有的中垂线围成区域的轮廓是什么样的曲线？

进一步提出问题：如果所有中垂线围成区域的轮廓是椭圆的话，那么，这个椭圆是由中垂线上的哪些点组成的？引导学生连接圆心C和点P，得到半径CP

由于,故C、A位于对称轴的同侧，而P在的另一侧，因此，与线段CP 交于一点Q（异于点C、P），且，所以，

即动点Q 到两个定点C、A 的距离之和为定值（大于）。

所以，Q 的轨迹是以C、A 为焦点，长轴长为的椭圆。（可以验证，这个椭圆就是图中的中垂线围城区域的轮廓线，此处的完备性留待学生思考）。

4、椭圆光学性质的生成

进一步，设T 是直线上不同于点Q 的任意一点，由于C、P、T不共线，故，即点T不在椭圆E 上，所以，点Q是直线与E 的唯一公共点，直线可称为椭圆E 的切线。

由图中可知,

因此,我们得到椭圆的光学性质:由椭圆一个焦点发射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一个焦点。

设计说明：数学思维主要表现为逻辑推理，正因为有了逻辑推理，数学的严谨性才得以形成。学生从折纸小游戏出发，展现动点轨迹产生的过程，从椭圆的定义推导出动点轨迹方程，并得出椭圆的光学性质，从而解释了视频中的数学问题。