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沪教版高二下册数学《第11章 坐标平面上的直线 本章小结》优秀教学设计
引例、在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD长为2，宽为1，AB、AD分别在X轴与Y轴的正半轴上，点A与坐标原点O重合。现将矩形折叠，使点A落在线段DC上。
问题1：若折叠后，点A与DC边的中点E重合，求此时的折痕所在的直线方程；
问题2：若AD边的中点为M，折叠矩形使点A与DC边的中点E重合，此时点M与点P重合，求点P的坐标；
【设计意图】：将生活中常见的折纸问题作为引入，既新颖又足够引起学生的好奇心，激发学生动笔计算求解的欲望。如图已经建立了直角坐标系，即点 ,要求折痕，即求两点的对程轴方程，利用：①一对对称点的连线与对称轴垂直；②一对对称点的连线的中点在对称轴上，可得AE中点坐标为 ，直线AE的斜率为 ，则折痕所在直线的斜率为其负倒数，得折痕所在直线方程为 。该题初步让学生体会点关于直线对程的两个要点，即两对称点的连线的中点在对程轴上，以及两对称点的连线与对称轴垂直，为下一题的展开铺设好桥梁。
对于问题2，由于已知了折痕即对称轴方程，问题即转化为如何求点 关于直线 的对称点，即引入我们的新课---求点关于直线的对称点的方法探究。
如果对于更一般的情况，该如何求折痕，求对称点坐标，将在这节课做一研究。
二、求点关于直线的对称点
1、首先我们探求点关于特殊直线的对称
点 关于x轴对称点 ;
点 关于y轴对称点 ;
点 关于x=t轴对称点 ;
点 关于y=t轴对称点 ;
点 关于直线y=x轴对称点 ;
点 关于直线y=-x轴对称点 ;
2、接着我们探求点关于一般直线的对称
例1、点 关于直线 的对称点Q坐标。
解法一： 与 垂直，设 ： ， 过点 ，则 ： ，联立方程组 ，
可得： 与 的交点坐标： ，其为PQ的中点，即可得 。
解法二：设 ，联立方程组 ，可求得Q坐标。
【设计意图】：第一种解法中利用了直线的垂直系设法，间接先求出交点即为中点，再用中点公式求点Q；第二种解法方程组直接求出点Q，两种解法本质相同，意在对处理直线垂直的方法各有千秋，可以从直线垂直系的角度，或是从 和 的斜率乘积为-1的角度。
下面就点关于一类特殊的直线方程探求其对称点。
练习、点 关于直线 的对称点Q坐标。
解法一：设 ： ， 过点 ，则 ： ，
连立方程组 ， ，即 。
解法二：设 ，联立方程组 ，得 。