沪教版高二下册数学《第11章 坐标平面上的直线 11.1 直线的方程》优秀教学设计

沪教版高二下册数学《第11章 坐标平面上的直线 11.1 直线的方程》优秀教学设计

【教学重点及难点】

直线的方程的概念、直线的点方向式方程；

理解直线方程以及点方向式方程的推导.

【 教学过程】

一、知识准备

1、在初中学过画直线，如在平面直角坐标系中，画出直线 EMBED Equation.3

2、理解直线方程的概念：（直线上点的坐标和二元一次方程的解的对应关系）

定义：对于坐标平面内的一条直线 ，如果存在一个方程 ，满足（1）直线 上的点的坐标 都满足方程 ；

（2）以方程 的解 为坐标的点都在直线 上.

那么我们把方程 叫做直线 的方程.

从上述定义可见，满足（1）、（2），直线 上的点的集合与方程 的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系.

二、点方向式方程探究

1、概念引入

在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.

2、概念形成

直线的点方向式方程的定义

在平面上过一已知点 ，且与某一方向平行的直线 是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程．

直线的点方向式方程的推导

建立平面直角坐标系，设 的坐标是 ，方向用非零向量 表示.

设直线 上任意一点 的坐标为 ，由直线平行于非零向量 ，故 .根据 的充要条件，得 ①；反之，若 为方程①的任意一解，即 ，记 为坐标的点为 ，可知 ，即 在直线 上.综上，根据直线方程的定义知，方程①是直线 的方程.

当 时，方程①可化为 ②.

值得注意的是：方程②不能表示过 且与坐标轴垂直的直线．

事实上当 时 ，方程①可化为 ③，表示过 且与 轴垂直的直线；当 时 ，方程①可化为 ④，表示过 且与 轴垂直的直线.

我们把方程 叫做直线 的点方向式方程，

非零向量 叫做直线 的方向向量.