高三上册《第16章 排列组合与二项式定理 16.1 计数原理I ——乘法原理》优秀教案

高三上册《第16章 排列组合与二项式定理 16.1 计数原理I ——乘法原理》优秀教案

重点难点：

重点：乘法原理

难点：无

教学过程：

在生产和生活实际中经常会遇到计数问题。

（课本P49例如）

右图是某绿地示意图，某人有入口A进入绿地，顺着道路到出口B，共有几种不同的行走线路？

分析：要从入口A走到出口B，需要两个步骤：第一步，从入口A走到桥上，有2条线路；第二步，从桥上走到出口B，有3条线路。因为入口A到桥上的2条线路都可以选择3条不同的线路到达出口B，所以从入口A到出口B共有2×3=6种不同的行走线路。

解：所有走法分别为A→a1→桥→b1→B；A→a1→桥→b2→B；A→a1→桥→b3→B；A→a2→桥→b1→B；A→a2→桥→b2→B；A→a2→桥→b3→B。

所以共有6种不同的行走线路。▋

一般的，对于这类计数问题，可以按照如下的计数原理进行计算：

如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

我们将上面计数原理称为乘法原理。

（课本P49例1）

某厂生产的手机为了在款式上能适应更多顾客的需求，为统一的机芯设计了2种不同的外形，同时每种外形又有3种不同色彩的外壳。该厂这种手机共设计了多少种不同的款式？

解：在这个问题中，确定一个手机的款式有2个步骤：第1步，确定外形，可选2种不同的外形；第2步，确定外壳的颜色，外壳可选3种不同的颜色。

根据乘法原理，共有2×3=6种不同的款式。

答：该厂这种手机共设计了6种不同的款式。▋

上面两个问题的本质是一样的，我们可以用树形图（如右图）表示。我们发现，这两个问题的树形图是一样的，这就是两个问题的解答基本相同的原因。

（课本P50例2）

在如图所示的程序模块中，一条执行路径就是一条遵循着线段的箭头方向，从开始到结束的路径。要测试该程序模块的所有执行路径，共要测试多少次？

解：如图所示的程序模块共有2个子模块，其中第一个子模块有3条路径；第二个子模块有7条路径。

由乘法原理，程序模块共有3×7=21条不同的执行路径。

答：要测试该程序模块的所有执行路径，共要测试21次。▋

为了提高产品质量，需要确定控制生产过程的温度、材料处理的时间和添加剂的剂量，为此工厂进行生产试验。试验控制的温度有150℃、160℃和170℃三种，材料处理的时间有10分钟、12分钟两种，添加剂的剂量有2克、4克和6克三种，为了确定提高产品质量的最佳条件，问需要做多少次试验？