人教A版数学选修1-1《第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质》优质课教案

人教A版数学选修1-1《第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质》优质课教案

二、教学重点、难点

1. 教学重点：双曲线的几何性质及简单应用；

2. 教学难点：双曲线的渐近线和离心率对双曲线的影响.

三、教学手段：多媒体课件、投影

四、教学方法：教师启发引导学生自主探究

五、教学过程：

（一）复习导入：

提问1：椭圆的简单几何性质有哪些？是如何研究的？

提问2：类比椭圆的几何性质，同学们认为应该研究双曲线 的哪些性质呢？

（二）讲授新课：

小组讨论 双曲线 的简单几何性质：范围、对称性、顶点

椭圆 双曲线 图形

标准方程 范围 ， 对称性 关于 轴， 轴，原点都对称 关于 轴， 轴，原点都对称 顶点

1、范围：

2、对称性：关于x轴、y轴、原点对称

3、顶点： 线段 叫做双曲线 的实轴，其长度为 。尽管此双曲线与 轴无公共点，但 轴上的两个特殊的点 。我们称线段 为双曲线的虚轴，其长度为 ，强调 ， 的几何意义。

猜想：过双曲线 的两顶点 ，作 轴的平行线 ，经过 作 轴的平行线 ，四条直线围成一个矩形.矩形的两条对角线所在直线方程与双曲线 有什么关系呢？

提问：由于双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限图形向远处的变化趋势，先看直线的方程是什么？直线在第一象限上升趋势，双曲线呢？

提问：第一象限图形向远处变化，直线和双曲线谁的增长速度快呢？

引导学生探寻双曲线 (a>0，b>0)的渐近线，将其变形为 ， ，继续变形为 ， ，可发现当x , 无限接近于0， ，即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点之间连线的斜率比 小，与斜率为 的直线无限接近，且此点永远在直线 下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，

从而可知双曲线 (a>0，b>0)的图形在远处与直线 无限接近，但不相交。（让学生体会数学中极限思想）

4、渐近线

双曲线 的渐近线方程是

研究渐近线可以比较准确地画出双曲线的草图，对做题有帮助

投影 图形