人教A版选修2-1数学《第二章 圆锥曲线与方程 探究与发现 为什么是双曲线的渐近线》优秀教学设计

人教A版选修2-1数学《第二章 圆锥曲线与方程 探究与发现 为什么是双曲线的渐近线》优秀教学设计

（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。 教学准备 多媒体课件 教学过程

要点精讲

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 为椭圆上任意一点，则有 。

椭圆的标准方程为： （ ）（焦点在x轴上）或 （ ）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中 的大小 ，其中 ；

②在 和 两个方程中都有 的条件，要分清焦点的位置，只要看 和 的分母的大小。例如椭圆 （ ， ， ）当 时表示焦点在 轴上的椭圆；当 时表示焦点在 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程 知 ， ，说明椭圆位于直线 ， 所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以 代替 方程不变，所以若点 在曲线上时，点 也在曲线上，所以曲线关于 轴对称，同理，以 代替 方程不变，则曲线关于 轴对称。若同时以 代替 ， 代替 方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于 轴、 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 轴、 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 ，得 ，则 ， 是椭圆与 轴的两个交点。同理令 得 ，即 ， 是椭圆与 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 ；在 中， ， ， ，且 ，即 ；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率。∵ ，∴ ，且 越接近 ， 就越接近 ，从而 就越小，对应的椭圆越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，从而 越接近于 ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 时， ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（ ）。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在 条件下； 时为双曲线的一支（含 的一支）； 时为双曲线的另一支（含 的一支）；②当 时， 表示两条射线；③当 时， 不表示任何图形；④两定点 叫做双曲线的焦点， 叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

椭 圆

双 曲 线