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选修2-1数学《第二章 圆锥曲线与方程 探究与发现 为什么是双曲线的渐近线》精品课教案
教学过程
一、引入
师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？
生：能画出来．
师：能画得比较精确点吗？(学生默然．)
师：例如画双曲线 ，通过列表描点，我们把双曲线的顶点及其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线 ，我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越来越接近于x轴和y轴，即x轴和y轴是曲线 的渐近线；又如曲线 ，它的一端的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为 的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．
二、讲述定义
师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？
由 ，知 ，所以 或 。从而得出了双曲线在两直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．
设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则
，
考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以
这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考．)
（用先作矩形的方法，画出两直线 ，然后指出区域）
由于双曲线和直线 对称于坐标轴，所以双曲线（两支）在直线 之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．然而直线 与双曲线 有什么联系呢？
为此，我们考虑下列问题：
EMBED MSPhotoEd.3
经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y＝±b，四条直线围成一个矩形。矩形的两条对角线所在的直线方程是 ，从图2可以看出，双曲线
的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．
下面，我们来证明这个事实．
双曲线在第一象限内的方程可写成