选修2-1数学《第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 习题3.1》精品课教案

选修2-1数学《第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 习题3.1》精品课教案

教学过程

知识点梳理

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量．

(2)相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量．

(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 的向量．

(4)共面向量：平行与同一个平面 的向量．

2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是__存在实数λ，使得a＝λb___.

推论　如图所示，点P在l上的充要条件是：

a ①其中a叫做直线l的方向向量，t∈R，

在l上取 =a,则

①可化为 或

(2)共面向量定理的向量表达式：p=_xa+yb_______，其中x，y∈R，a、b为不共线向量，推论的表达式为 或对空间任意一点O，有 或 ，其中x+y+z= 1 ．

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝ xa+yb+zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up15(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up15(→)) ＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝ eq \f(π,2) ，则称a与b垂直 ，记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉则叫做向量a，b的数量积，记作a·b，

即_a·b=|a||b|cos〈a，b〉_______．

(2)空间向量数量积的运算律