人教A版数学选修3-1《第二讲 古希腊数学 四 数学之神──阿基米德》优质课教案

人教A版数学选修3-1《第二讲 古希腊数学 四 数学之神──阿基米德》优质课教案

重难点分析：

重点：了解阿基米德的主要数学成就

难点：理解平衡法。

教学准备：多媒体课件

教学过程：

一、知识讲解：

（一）导入：

金冠——阿基米德原理的发现

叙拉古的海厄罗王的政治威望及权势日益提高 ，为了报答诸神的德泽，他决定建造一个华贵的神龛，内装一个纯金的王冠，作为谢恩的奉献物 金匠如期完成了任务，理应得到奖赏．这时有人告密说金匠偷去一部分金子，以等重的银子掺入．国王甚为愤怒，但又无法判断是否确有其事．便请素称多能的阿基米德来鉴定一下，他也一时想不出好办法来．正在苦闷之际，他到公共浴室去洗澡，当浸入装满水的浴盆去的时候，水漫溢到盆外，而身体顿觉减轻．于是豁然开朗，悟到不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等．根据这一道理，不仅可以判断王冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的份量．这一发现非同小可，阿基米德高兴得跳了起来，赤身奔回家中准备实验，口中不断大呼“尤里卡！尤里卡！”(Eureka，意思是“我找到了”．)

这问题可解释如下：设王冠重W，其中金与银分 别重W1，W2，而W=W1＋W2分别取重为W与W1的纯金放入水中，设排去水的重各 的银放入水中，设排去水的重量各为F2与y，于是W∶W2=F2∶y，由此推得F(W1＋W2)=F1W1+F2W2，即用实验可求出F，F1，F2，即可算出银与金之比值．如F=F1，说明没有掺银．实际情况是两者不等，从而揭穿了金匠的劣行．

经过仔细实验和反复思考，将经验上升为理论，他终于发现了流体静力学的基本原理——阿基米德原理

（二）新科教授

1、阿基米德简介

阿基米德(Archimedes) 公元前2 87年生于西西里岛(Sicilia，今属意大利)的叙拉古(Sracusa，—译锡拉库萨)；公元前212年卒于叙拉古．

阿基米德早年曾在当时希腊的 学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，对欧几里得数学进一步的发展作出了一定的贡献．阿基米德也算是亚历山大学派的成员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的．后人对阿基米德给以极高的评价说：任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯．不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们的影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．

2、主要著作

阿基米德留下的数学著作不下10种，多数 为希腊文手稿，也有的是13世纪以后从希腊文译成拉丁文的手稿．著作的题例，深受欧几里得《几何原本》的影响，先设立若干定义和假设，再依次证明各个命题．各篇独立成章，虽然不象《原本》那样浑然一体，但所言均有根据，论证也是严格的．现按海伯格本的顺序(为希思本所沿用)列举如下：

《论球与圆柱》《圆的度量》《劈锥曲 面与回转椭圆体》《论螺线》《平面图形的平衡或其重心》 《数沙器》 《抛物线图形求积法》 《论浮体》 《引理集》《群牛问题》

在本世纪初还发现阿基米德的一封信， 这信非常重要，它记录了阿基米德研究问题的独特思考方法，后来以《阿基米德方法》(The method of Archimedes，简称《方法》)的标题发表出来．

《方法》包括15个命题．一开头是写给埃拉托塞 尼的信用来说明本篇的主要内容，相当于序言．下面，以命题1为例，阐明阿基米德的思想方法．为了便于了解，暂用现代的术语和符号来推导．

设D是抛物线弧ABC的弦A C的中点，过D作直线平行于抛物线的轴OY，交抛物线于B．要证明的是抛物弓形ABCD的面积等于△ABC面积的 4/3．当时已经知道过B的切线平行于AC，即B是弓形的顶点(在ABC弧上与AC距离最远的点)．命题结论的另一种说法是： 抛物弓形的面积，是等底等高的三角形的4/3．用解析几何来分析，设抛物线方程是

y=ax2 (1)

A，C的横坐标分别是x1，x2，则AC的方程是 y=ax1x＋ax2x-ax1x2 (2)

过C点的切线CF的方程是