选修3-3 球面上的几何《第三讲 球面上的基本图形 三 球面三角形 2．三面角》优秀教案

选修3-3 球面上的几何《第三讲 球面上的基本图形 三 球面三角形 2．三面角》优秀教案

二、教学目标

1.理解三面角的概念，掌握球面三角形与三面角之间的对应，了解三面角的余弦公式。

2.探究、发现三面角余弦公式,并能利用平面欧氏几何知识给予证明,并用公式解决一些简单问题;通过优化问题设计,探究三面角中三个面角与二面角之间的关系,培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。

3.能在具体问题情境中识别三面角图形，并能用相关知识解决相应的问题。

4.通过经历和体验三面角中三个面角与二面角关系的探索过程,体会过程的重要性,并在探索的过程中学会学习、学会探究;同时通过对三面角余弦公式的研究去感受和掌握研究球面三角形的基本思想方法。

三、教学重点、难点

学生通过对高中平面欧氏几何的学习,初步具有对数学问题自主探究的意识与能力。高中学生是一个特殊的学习群体，根据皮亚杰关于心理发展的阶段学说,他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段,即感知运算、前运算、具体运算和形式运算阶段,高中学生处于形式运算阶段。认知水平从形象向抽象过渡,思维能力的提高是一个转折期;高中学生的自我意识不断增强,好胜心、进取心进一步提高,他们富有激情,感情丰富,爱冲动,爱幻想。高中学生已经具备了一定观察、猜想、分析和归纳的能力,但是学生的抽象思维能力还不是很强,此时学生已掌握了球面三角形概念及其简单应用。教材没有对三面角进行分析与探究,本课的教学设计旨在搭设台阶,降低坡度,引导学生从三面角概念出发,通过观察、分析、归纳、推理来探究其三个面角及三个二面角之间的关系,激发学生自主探究的学习热情,让学生在探究中学会学习、学会合作、学会创造。

综上所述，我把教学重点定为三面角的概念及与球面三角形之间的对应；教学难点定为三面角余弦公式的推导。

四、教学程序

（一）设计思路

（二）教学流程

1.复习引入：

一架飞机从北京首都国际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼迪国际机场。北京与纽约大致都在北纬40°上，如果不考虑其他因素，飞机怎么飞行能够使航程最短？

生1：过点B,N作球的大圆，劣弧BN是最短航程。

师：飞机沿着大圆从北京向北经极地飞行到达纽约，航程最短。极地有个北极点P，过B,P和P,N分别作两个大圆，三段劣弧构成什么图形？

众生：球面三角形。

师：我们怎么度量球面△ABC的三边呢？

生2：过O点连结OA,OB,OC，AB=r∠AOB,BC=r∠BOC，AC=r∠AOC。

师：上式中的角的单位是度数吗？

生2：不是，是弧度制。

师：我们怎么度量球面△ABC的三内角呢？以∠B为例。

生3：∠B边AB和BC所在大圆的半平面构成一个二面角A-OB-C。用二面角来度量球面角。

2.新知导入

师：无论是度量球面△ABC的边长，还是它的内角，都涉及到一个图形，即从球心O出发的三条线段OA,OB,OC组成的图形。如果延长线段OA,OB,OC,使它们成为射线，那么三条射线构成三个平面（类似三棱锥）。我们把这样的图形称为三面角，记为O-ABC。其中点O称为三面角的顶点，OA,OB,OC称为它的棱，∠AOB,∠BOC,∠AOC称为它的面角。三面角中每相邻两面构成的二面角称为它的二面角，一个三面角有三个二面角。