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人教A版选修4-1 几何证明选讲数学《第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影》优秀教学设计
教学难点：证明平面与圆柱面的截线是椭圆
㈠.复习与引入
1、点在直线上的正射影
2、直线在直线上的正射影
㈡.新课讲授
问题1：点、直线在平面上的正射影是什么呢？
给定一个平面 ，从一点A作平面 的垂线，垂足为点A′称为点A在平面 上的正射影.
那么，一条直线在平面上的正射影是什么样的图形呢？
一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影.
问题2：一个圆所在的平面 与平面 平行时,该圆在平面 上的正射影是什么图形？
当平面 与平面 不平行时，圆在平面 上的正射影是什么图形？
如果平面 与平面 垂直时，圆在平面 上的正射影又是什么图形？
如果取消“垂直”的限定，那么正射影的概念可以作进一步推广。
设直线l与平面 相交，称直线l的方向为投影方向。过A点作平行于l的直线（称为投影线）必交与一点A′,称点A′为A沿l的方向在平面 上的平行射影。
一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影。显然，正射影是平行射影的特例。
问题3：两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？
将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，观察水平面所成的图形;如果将玻璃杯倾斜一定的角度，此时水平面又是一个什么样的图形？
可以看出水平面是一个椭圆.
定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。
我们分析一下图中的水平面的结构，水平面的图形可看成是以杯子（圆柱）的母线为投影方向，杯口（圆）在水平面所在平面上的射影。其中，点A的投影为点E,点D的投影为F，显然EF>AD。与杯口（圆）的直径AD垂直的直径ＧＨ在水平面上的射影ＰＱ的长度保持不变，因此ＥＦ＞ＰＱ，于是杯口（圆）的射影不是一个圆，而是椭圆.
上述问题可以抽象为：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆;当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆.
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