人教A版选修4-1 几何证明选讲数学《第三讲 圆锥曲线性质的探讨 三 平面与圆锥面的截线》优秀教学设计

人教A版选修4-1 几何证明选讲数学《第三讲 圆锥曲线性质的探讨 三 平面与圆锥面的截线》优秀教学设计

3.能够用运动变化的观点理解柱面、旋转面的概念，进而掌握圆柱面的性质.

4.在一般截面的几何性质的探究中，体验使用焦球的意义，逐步培养对几何图形中不变量的研究意识.

5.用平面截圆锥面研究所得曲线的基本特征并加以证明，从新的角度认识椭圆、双曲线和抛物线.

[知识链接]

1.一个圆所在的平面α与平面β平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？

提示　圆.

2.一个圆所在的平面α与平面β不平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？

提示　椭圆.

3.回想一下，椭圆是如何定义的？

提示　平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.

4.用一个平面去截一个圆柱，截面将是怎样一个平面图形？

提示　用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆，当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆，当平面与圆柱两底面垂直时，截面是一个矩形.

[预习导引]

1.正射影

(1)定义：给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′.称点A′为点A在平面α上的正射影.一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影.

(2)圆面的正射影：一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆；如果圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化，就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆；如果圆所在的平面β与平面α垂直时，那么该圆在平面α上的正射影是一条线段，其长度等于圆的直径.

2.平行射影

定义：设直线l与平面α相交(如图)，称直线l的方向为投影方向.过点A作平行于l的直线(称为投影线)，必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影.一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫作这个图形的平行射影.显然，正射影是平行射影的特例.

3.定理1

文字语言 圆柱形物体的斜截口是椭圆 符号语言 平面α与圆柱OO′的轴斜交，则截口是椭圆 图形语言 作用 判断截口形状是椭圆 4.椭圆

(1)定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆.

(2)组成元素：如图所示，F1，F2是椭圆的焦点，B1B2是F1F2的中垂线.

我们把A1A2叫作椭圆的长轴，B1B2叫作椭圆的短轴，F1F2叫作椭圆的焦距，如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝2 eq \r(a2－b2) .

(3)Dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1，l2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的夹角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的，且φ，θ均为定值.