人教A版选修4-1 几何证明选讲《第三讲 圆锥曲线性质的探讨 二 平面与圆柱面的截线》优秀教案设计

人教A版选修4-1 几何证明选讲《第三讲 圆锥曲线性质的探讨 二 平面与圆柱面的截线》优秀教案设计

思路分析：根据题意可知长轴长及短轴长，进而求出离心率，从而得出截面与母线的夹角．

解：易知长半轴长a＝ eq \f(12,2) ＝6，短半轴长b＝r＝3，两焦点间距离2c＝2 eq \r(a2－b2) ＝2 eq \r(62－32) ＝6 eq \r(3) .

椭圆离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(3),2) .

设截面与母线的夹角为φ，

则cos φ＝ eq \f(\r(3),2) .∴φ＝ eq \f(π,6) .

综上，截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长为12，短轴长为6，两焦点间距离为6 eq \r(3) ，截面与母线所夹的角为 eq \f(π,6) .

探究二探讨椭圆的性质

探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质，要熟知Dandelin双球与圆柱及其截平面的关系，综合应用切线长定理、三角形的相似与全等，解直角三角形，以及平行射影的性质．

【典型例题2】如图所示，已知球O1，O2分别切平面β于点F1，F2，P1P2为⊙O1的一条直径，Q1，Q2分别为P1，P2在平面β内的平行射影，G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2与Q1Q2垂

直平分，求证：F1F2＝2 eq \r(a2－b2) .

证明：如图，过G1作G1H⊥BG2，H为垂足，

则四边形ABHG1是矩形．

∴G1H＝AB.

∵Q1，Q2分别是P1，P2的平行射影，

∴P1Q1 P2Q2.∴P1Q1Q2P2是平行四边形．

∴Q1Q2＝P1P2，即Q1Q2等于底面直径．

∴G1H＝AB＝Q1Q2＝2b.

又由切线长定理，知G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B，

∴G2F1－G2F2＝G2B－G1A.

又G1A＝BH，∴G2F1－G2F2＝G2B－BH.

∴F1F2＝G2H.

在Rt△G1G2H中，G2H＝ ＝ eq \r(?2a?2－?2b?2) ＝2 eq \r(a2－b2) ，

故F1F2＝2 eq \r(a2－b2) .