人教A版选修4-1 几何证明选讲数学《第一讲 相似三角形的判定及有关性质 二 平行线分线段成比例定理 》优秀教学设计

人教A版选修4-1 几何证明选讲数学《第一讲 相似三角形的判定及有关性质 二 平行线分线段成比例定理 》优秀教学设计

(2)图形语言：

如图1－2－1，l1∥l2∥l3，

则有： eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(DE,EF) ，

eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(DE,DF) ， eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(EF,DF) .

2．平行线分线段成比例定理的推论

(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

(2)图形语言：如图1－2－2，l1∥l2∥l3，

图1－2－2

则有： eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(AE,AC) ， eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(AE,EC) ， eq \f(DB,AB) ＝ eq \f(EC,AC) .

探究

1．平行线分线段成比例定理有哪些变式？

【提示】　变式有 eq \f(AB,DE) ＝ eq \f(BC,EF) ， eq \f(AB,DE) ＝ eq \f(AC,DF) ， eq \f(BC,EF) ＝ eq \f(AC,DF) .

2．平行线分线段成比例定理的逆命题是什么？它是正确的吗？

【提示】　平行线分线段成比例定理的逆命题是：如果三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么这三条直线平行，这个命题是错误的．

3．怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？

【提示】　(1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定理．(2)它包括以下三种基本图形(其中DE为截线)．

习惯上称前两种为“A型”，第三种为“X型”．

(3)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

图1－2－3

求证： eq \f(EP,FP) ＝ eq \f(AC,AB) .

【思路探究】　在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补一个平行四边形来求解．