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师梦圆高中数学教材同步人教A版版选修4-1 几何证明选讲一 平行射影下载详情
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人教A版选修4-1 几何证明选讲《第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影》优秀教案设计

一个圆所在的平面β与平面α平行时,该圆在α上的正射影是什么图形,当β与α不平行时,圆在α上的正射影是什么图形?如果β与α与垂直时,圆在α上的正射影又是什么图形?

2. 平行射影:一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形,称为这个图形的平行正射影.

思考2:

两条相交直线的平行射影是否还是相交直线?两条平行直线的平行射影是否还是平行直线?

定义:

平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.

二、平面与圆柱面的截线

观 察:

教材P44面图3-2、图3-3

探究

如图,AB、CD是两个等圆的直径,AB∥CD,AD、BC与两圆相切.作两圆的公切线EF,切点分别为F1、F2,交BA、DC的延长线于E、F,交AD于G1,交BC于G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.

(1)G2F1+G2F2与AD有什么关系?

(2)AD的长与G1G2的长有什么关系?

(3)G2F1与G2E有什么关系?

思考:

将图3-5中两个圆拓广为球面,将矩形ABCD看成是圆柱面的轴截面,将EB、DF拓广为两个平面α、β,EF拓广为平面γ,得到3-6.显然,平面γ与圆柱面的截线是椭圆.根据上面的结论,你能猜想这个椭圆的两个焦点的位置吗?

猜想:两个焦点可能在两个球与斜截面的切点上,即过球心O1、O2分别作斜截面的垂线,其垂足F1、F2就可能是焦点

当P与G2重合时,PF1+PF2=定值,即G2F1+G2F2=AD

当P与G2不重合时,也有PF1+PF2=AD.

故P的轨迹是椭圆.

探究:

如图,当点P与G2重合时,可以得到什么结论?当点P在其他位置时,还有这个结论吗?

定理1: 圆柱形物体的斜截口是椭圆.

课后作业:

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