选修4-2 矩阵与变换数学《第一讲 线性变换与二阶矩阵 一 线性变换与二阶矩阵 （一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1．旋转变换》精品课教案

选修4-2 矩阵与变换数学《第一讲 线性变换与二阶矩阵 一 线性变换与二阶矩阵 （一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1．旋转变换》精品课教案

从成长角度分析：该节课可以让孩子们充分感受数学的无处不在，也可以让孩子们对接下去乃至大学高等代数的学习兴趣倍增，让他们的高数学习更加如鱼得水。

二、教学目标：

知识目标：通过平面图形帮学生更直观地巩固几种常见线性变换及其对应矩阵。

能力目标：能够运用所学的方法，直观地体会矩阵与变换之间的对应关系，提高运用数形结合思想解决问题的能力。

情感目标：用线性变换切入课题并逐步深入解决问题，充分激发学生学习数学的热情，让学生近距离地体验数学的“神奇”与“有用”。

三、重难点分析

重点：让学生了解中学常见的几类特殊的线性变换;

难点：探究几类特殊的线性变换形成的过程;

四、教法学法分析

教法：问题驱动式教学，寻找学生思维的“最近发展区”通过联系旧知识，层层递进探寻新知，帮助学生找到解决新问题的方法。

学法：探究式学习方法，学生通过思考，归纳，合作探究进行学习，加深对矩阵与变换的对应关系的理解。

五、预期效果分析

本节课的整体思路是，课上通过精心设计的问题引导学生思考，通过师生的互动调动学生的积极性并观察学生的反馈，之后再利用合作探究，及时反馈学生的掌握情况。同时采用精心设计的问题串来推波助澜，一方面调动整个班学生思考的积极性，一方面可以观察学生的反应来调整速度。其中，课件的辅助作用是推理过程中的一个小亮点，希望通过课件的演示更直观地来帮助学生更快地找到答案。学生会觉得本节课的可操作性还是比较强的，特别是进入合作探究，学生终于尝到了解决问题的甜头，而我们的目标也算比较好地得到了实现.

六、教学内容

1.矩阵的相关概念

(1)由4个数a，b，c，d排成的正方形数表 eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(a　b,c　d)) 称为二阶矩阵，数a，b，c，d称为矩阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，…表示．

(2)二阶矩阵 eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0　0,0　0)) 称为零矩阵，简记为0，矩阵 eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(1　0,0　1)) 称为二阶单位矩阵，记作E2.

2．线性变换的相关概念

(1)我们把形如 eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x′＝ax＋by,y′＝cx＋dy)) (*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐标变换公式，P′(x′，y′)是P(x，y)在这个线性变换作用下的像．

3．几种常见的线性变换

(1) 将一个平面图形绕一个定点旋转角α，得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时，旋转变换的变换矩阵为 eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(cos α　－sin α,sin α　cos α)) .旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换．

（2）反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．由矩阵M1＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(1　0,0　－1)) 确定的变换是关于x轴的轴反射变换，由矩阵M2＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(－1　0, 0　1)) 确定的变换是关于y轴的轴反射变换，由矩阵M3＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(－1　0, 0　－1)) 确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M4＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0　1,1　0)) 确定的变换是关于直线y＝x的轴反射变换．

（3）由矩阵M＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(a　0,0　1)) 或M＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(1　0,0　k)) (k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸缩变换，这时称矩阵M＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(k　0,0　1)) 或M＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(1　0,0　k)) 伸缩变换矩阵．

当M＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(k　0,0　1)) 时确定的变换将平面图形作沿x轴方向伸长或压缩，当k>1时伸长，当0

当M＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(1　0,0　k)) 时确定的变换将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，当k>1时伸长，当0