选修4-6 初等数论初步《第一讲 整数的整除 二 最大公因数与最小公倍数 1.最大公因数》优秀教案

选修4-6 初等数论初步《第一讲 整数的整除 二 最大公因数与最小公倍数 1.最大公因数》优秀教案

从内容结构上来看，初等数论大体上包括两个方面的内容，一个是整除理论，另一个是同余理论。整除理论是初等数论的基础，它是在带余除法的基础上建立起来的，整除理论的中心内容是算术基本定理和最大公因数理论。同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念和方法。

（2）教学内容分析

《最大公因数》是人教A版高中数学选修4-6“初等数论初步”第一讲“整数的整除”的第二节内容，是在学习了“整除的概念性质、带余除法”一节内容之后编排的，它也是整除理论的中心内容。通过本节课的学习，既可以对整除的概念性质等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习最小公倍数、算数基本定理打下坚实的理论基础。

初等数论的知识和思想方法经常出现在日常教学中，新教材中多出涉及初等数论的知识，如本节课将要学习的求解最大公因数的重要方法—辗转相除法，这也是高考改革之后信息技术学科需要掌握的重要知识及方法，所以《最大公因数》不仅是本章整除理论的重点内容，也是高中学段的主要研究内容之一，有着不可替代的重要作用。

此外，在学习《最大公因数》的性质及辗转相除法的过程可增强学生的阅读理解能力、逻辑推理能力等。从某种程度上可以说，初等数论是数学中“理论与实践”相结合得最完美的基础课程，近代数学中许多重要的思想、概念、方法与技巧都是从整数性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

学情分析

初等数论中有许多知识和问题是比较通俗易懂的。许多学生在小学就学习了整数的分解、素数和整除性的简单知识。少数学生在中学阶段为参加数学竞赛的需要，利用课余时间学习了同余和不定方程的初步知识。但是初等数论中不少问题，说起来容易，做起来难。比如这节《最大公因数》中最大公因数的相关性质，大部分学生知道一点，但对知识是模糊不清晰的，并且对证明完全不予理睬。而对于辗转相除法，很多学生小学学习奥数的时候就掌握，但都是知其然而不知其所以然，只会复制操作。

所以本节课的学习目的不是训练学生去做初等数论的难题，为数学竞赛服务，而是介绍初等数论中最基本的概念、方法和思想，使学生对初等数论及其应用有一个初步的认识。重在数学学习逻辑思维和数学学习兴趣的培养。

教学目标及教学重难点

鉴于对学生已有的知识基础和认知能力的分析，我确定本节课的教学目标、教学重点和难点如下：

（1）知识目标：①掌握公因数及最大公因数的概念；②掌握有关最大公因数的重要性质；③掌握辗转相除法的原理并能初步利用辗转相除法求解最大公因数；

（2）技能目标：渗透数论证明的基本数学思想方法，有意识培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力、表达交流的能力和数学逻辑推理的能力。

（3）情感目标：让学生初步认识到初等数论的简单应用，培养学生学习的耐心和信心，提高学习数学的兴趣。

（4）教学重点：最大公因数的性质及辗转相除法。

（5）教学难点：最大公因数性质定理的证明。

教学策略分析

由于《最大公因数》这节课的特殊性，在本节课的教法设计中，我力图通过这一节课的教学达到不仅使学生初步理解并能简单应用求解最大公因数的辗转相除法，更期望能引领学生掌握研究初等数论一般思想和方法，为今后学习数论知识或者高等数学相关知识做好准备，从而达到培养学生学习能力的目的，我根据自己对“诱思探究”教学模式教学模式的认识，主要突出了几个方面：

1.创设问题情景.先给出三组数让学生求最大公因数，充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理，顺利引入课题。

2.强化“最大公因数”概念.引导学生用数学符号来定义最大公因数，强化整除理论，为后面有关最大公因数的性质证明做好铺垫。

3.突出数论中证明方法的逻辑性.在有关最大公因数的性质证明的学习过程中，突出数论中证明方法的逻辑性，引导学生自己学着去证明一些定理，培养学生数学学习的逻辑推理能力。

4.注意理论与实践的联系.数学的本质是来源于生活，服务于实践。在课堂教学的引入、性质的证明和辗转相除法的学习后，通过一道实例让学生对方法进行应用，随后叫学生上去练习，培养学生的数学应用意识。

教学过程

教 学 过 程

设计意图

提