人教A版选修4-6 初等数论初步数学《第一讲 整数的整除 二 最大公因数与最小公倍数 1.最大公因数》优秀教学设计

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则称a1, a2, (, ak是两两互素的（或两两互质的）。

显然，a1, a2, (, ak两两互素可以推出(a1, a2, (, ak) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2。

定理1 下面的等式成立：

(ⅰ) (a1, a2, (, ak) = (|a1|, |a2|, (, |ak|)；

(ⅱ) (a, 1) = 1，(a, 0) = |a|，(a, a) = |a|；

(ⅲ) (a, b) = (b, a)；

(ⅳ) 若p是素数，a是整数，则(p, a) = 1或p(a；

(ⅴ) 若a = bq ( r，则(a, b) = (b, r)。

证明 (ⅰ)(((ⅳ)留作习题。

(ⅴ) 由第一节定理1可知，如果d(a，d(b，则有d(r = a ( bq，反之，若d(b，d(r，则d(a = bq ( r。因此a与b的全体公约数的集合就是b与r的全体公约数的集合，这两个集合中的最大正数当然相等，即(a, b) = (b, r)。证毕。

由定理1可知，在讨论(a1, a2, (, an)时，不妨假设a1, a2, (, an是正整数，以后我们就维持这一假设。

定理2 设a1, a2, (, ak(Z，记

A = { y；y = ，xi(Z，( ( i ( k }。

如果y0是集合A中最小的正数，则y0 = (a1, a2, (, ak)。

证明 设d是a1, a2, (, ak的一个公约数，则d(y0，所以d ( y0。另一方面，由第二节例2知，y0也是a1, a2, (, ak的公约数。因此y0是a1, a2, (, ak的公约数中的最大者，即y0 = ( a1, a2, (, ak)。证毕。

推论1 设d是a1, a2, (, ak的一个公约数，则d((a1, a2, (, ak)。

这个推论对最大公约数的性质做了更深的刻划：最大公约数不但是公约数中的最大的，而且是所有公约数的倍数。

推论2 (ma1, ma2, (, mak) = |m|(a1, a2, (, ak)。

推论3 记( = (a1, a2, (, ak)，则

= 1，

特别地, = 1。

定理3 (a1, a2, (, ak) = 1的充要条件是存在整数x1, x2, (, xk，使得

a1x1 ( a2x2 ( ( ( akxk = 1。 (1)

证明 必要性 由定理2得到。

充分性 若式(1)成立，如果 (a1, a2, (, ak) = d > 1，那么由d(ai（1 ( i ( k）推出d(a1x1 ( a2x2 ( ( ( akxk = 1，这是不可能的。所以有(a1, a2, (, ak) = 1。证毕。