人教B版必修一数学《第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.2 对数与对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系》优秀教学设计

人教B版必修一数学《第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.2 对数与对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系》优秀教学设计

通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程.

填一填：知识要点、记下疑难点

1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y＝f(x)的反函数通常用 y＝f－1(x) 表示.

2.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y＝x 对称.

3.互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称;互为反函数的图象同增同减.

4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y＝ax随着x的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y＝logax增长的速度? 逐渐变得很缓慢.

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境]　设a为大于0且不为1的常数,对于等式at＝s,若以t为自变量可得指数函数y＝ax,若以s为自变量可得对数函数y＝logax.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题.

探究点一指数函数与对数函数的关系

导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y＝2x及y＝log2x的图象.

问题1函数y＝2x及y＝log2x的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？

答：函数y＝2x的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y＝log2x的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y＝2x的定义域和值域分别是函数y＝log2x的值域和定义域.

问题2在列表画函数y＝2x的图象时,当x分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y值分别是什么？

答：y值分别是: eq ﹨f(1,8) , eq ﹨f(1,4) , eq ﹨f(1,2) , 1, 2, 4, 8.

问题3在列表画函数y＝log2x的图象时,当x分别取 eq ﹨f(1,8) , eq ﹨f(1,4) , eq ﹨f(1,2) ,1,2,4,8时,对应的y值分别是什么？

答：y值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3.

问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？

答：在列表画y＝log2x的图象时,可以把y＝2x的对应值表里的x和y的数值对换,就得到y＝log2x的对应值表.

问题5观察画出的函数y＝2x及y＝log2x的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？

答：函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称.

问题6我们说函数y＝2x与y＝log2x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称,那么对于一般的指数函数y＝ax与对数函数y＝logax又如何？

答：对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称.

探究点二　互为反函数的概念

问题1对数函数y＝logax与指数函数y＝ax是一一映射吗？为什么？

答：是一一映射,因为对数函数y＝logax与指数函数y＝ax都是单调函数,所以不同的x值总有不同的y值与之对应,不同的y值也总有不同的x值与之对应.