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人教B版必修一数学《第三章 基本初等函数（Ⅰ） 阅读与欣赏 对数的发明》优秀教学设计
德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即
sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2?,
cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2?.
大大简化了三角函数连乘的计算。比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：
sin67°34'×sin9°3'
＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3')
＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2
＝[0.52225052-0.23146492]/2
＝0.14539280
这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a?,sinβ=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β)?,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。由于大于1的数可用小于1的数乘上10n?表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。
但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方，因此,寻找更好的计算迫在眉睫。
2、对数产生的前奏
请你观察下面两个数列,并找出规律:
1,?2,?4,?8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,?4096，8192，16384??
0,?1,?2,?3,?4,?5,?6,??7,??8,??9,??10,??11,???12，??13，???14??
德国数学家Stifel?(1487～1567)在观察上述两个数列时,称上排的数为?“原数”,?下排的数为“代表数”?(德文Exponent)?,?Stifel发现,上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。Stifel指出：“欲求上边任两数的积（商），只要先求出其下边代表数的和（差），然后再把这个和（差）对向上边的一个原数，则此原数即为所求之积（商）。”比如，计算16×1024，只要计算16的“代表数”?4、1024的“代表数”?10之和4+10=14，再查出与“代表数”?14相对应的“原数”?16384，就得到16×1024的乘积。实际上,?Stifel已经掌握了对数运算法则，因为Stifel所谓的“代表数”,本质上是“原数”以2为底的对数。
说明：上一排原数可写为以2为底的指数函数,则16×128实际上就是24×27＝24+7＝211＝2048。
此法可推广到任何二个数的乘除运算。比如计算17951235×0.08304115,设17951235＝aX,?0.08304115＝aY，则17951235×0.08304115＝aX?×aY＝aX+Y。
这里x是17951235的(以a为底的)对数，y是0.08304115的(以a为底的)对数。底a是可以任意指定的，我们指定a=10,则只要查表得到这二个数的常用对数(以10为底的对数称为常用对数)?x=lg?17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115＝-1.0807066451，计算x+y=6.1733876872，再查表得6.1733876872的(以10为底的)指数函数，106.1733876872＝1490691.1983就得到了17951235的乘积。
这就是后来的“对数简化运算”的方法。但由于当时没有分数指数的概念，人们还完全想不到这样的原理。Stifel尝试做任何两个数乘除时，遇到用数列不能解决的情况,他感到束手无策,他说:“这个问题太狭窄了,所以不值得研究”,只好“鸣金收兵”。