人教B版必修二数学《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.3 两条直线的位置关系》优秀教学设计

人教B版必修二数学《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.3 两条直线的位置关系》优秀教学设计

两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

学习过程：

对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

一、知识再现：

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

二、概念探究：创设情景，揭示课题

　(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直

设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2．即　 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，　 0°≤α2＜180°，∴α1=α2．

又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．

结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即L1∥L2? k1=k2

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.

下面我们研究两条直线垂直的情形．

如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

即，α1=90°+α2． 由tanα1=tan(90°+α2)= ∴ 即

反过来， ， ，不失一般性，设

那么tanα1= =tan(90°+α2)，