人教B版选修1－2《第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法》优秀教案设计

人教B版选修1－2《第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法》优秀教案设计

[小问题·大思维]

1．如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？

提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B是A的充要条件也可．

2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？

提示：综合法：A?B1?B2?…?Bn?B(逐步推演不等式成立的必要条件)，

即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．

分析法：B?B1?B2?…?Bn?A(步步寻求不等式成立的充分条件)，

总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法．

[例1]　已知a，b，c均为正实数，且互不相等，又abc＝1.

求证：＋＋<＋＋.

[思路点拨]　本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过＝<实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．

[精解详析]　法一：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，

∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.

法二：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，

∴＋＋＝bc＋ca＋ab

＝＋＋

＞ ＋＋

＝＋＋.

(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．

(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有：a2＋b2≥2ab，()2≥ab.a2＋b2≥(a＋b)2.③若a，b为正实数，≥.特别＋≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

1．已知a>0，b>0，求证a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，

所以a(b2＋c2)≥2abc.

又因为c2＋a2≥2ac，b>0，

所以b(c2＋a2)≥2abc.