选修2－1数学《第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念》精品课教案

选修2－1数学《第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念》精品课教案

●教学重点 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．

(解决办法：通过例子，揭内涵；讨论归纳，得出定义；变换表达，强化理解；初步运用，巩固提高；给出推论，升华定义．)

●教学难点 难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．

●教学过程

Ⅰ.知识引入：

和学生共同探讨圆锥曲线的形成过程以及如何研究圆锥曲线的性质。由此提出用代数方法即方程的思想研究曲线问题，引出曲线和方程的关系。

Ⅱ.讲授新课

1．曲线与方程关系举例：（由最简单，学生最熟悉的直线和圆作为引例来研究）

师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x－y=0.这就是说，如果点M（x0,y0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0）是方程x－y=0的解；反过来，如果（x0,y0）是方程x －y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如左图有）

一、三象限的平分线上的点（x0,y0） x0=y0 （x0,y0）是方程x －y=0的解

引例2：以坐标原点为圆心，半径等于1的圆的方程x2 +y2 = 1.(由学生解释)

2．曲线与方程概念

一般地，在直角坐 标系中，如果其曲线c上的 点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线

3．引用实例，加深认识

下列各题中，图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系⑴还是关系⑵？

曲线C为△ABC为中线AO,方程：X=0 曲线C是过点（4，1）的反比例曲线图像

4． 例题讲解：

例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数 的点的轨迹方程是 。

证明：（1）设M（x0,y0）是轨迹上的任意一 点，因为点M与 轴的距离为 ，与 轴的距离为 ，所以 即 是方程 的解.

（2）设 的坐标 是方程 的解，那么 即

而 正是点 到 轴， 轴的距离，因此点 到两条直线的距离的积是常数 ，点 是曲线上的点。