人教B版数学选修2－1《第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程》优质课教案

人教B版数学选修2－1《第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程》优质课教案

我们把直线l上的向量 以及与 共线的非零向量叫做直线l的方向向量．

例1 （1）已知B（1，0，0），C（0，-1，-1），写出直线BC的一个方向向量；

（2）设直线l，m的方向向量分别为 ， ，根据下列条件判断直线l ，m的位置关系：

① =（2，-1，-2）， =（4，-2，-4）；

② =（2，-1，-2）， =（-8，0，-8）；

③ =（1，-1，3）， =（3，3，2）．

平行练习：设直线 的方向向量为 =（2，-1，2），直线 的方向向量为 =（1，1，m），若 ，则实数m的值为 ．

探究二：平面的法向量

如果表示非零向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量 垂直于平面 ，记作 ，此时，我们把向量 叫做平面 的法向量．

例2 在正方体 中，求证： 是平面 的法向量．

平行练习：在正方体 中，求证： 是平面 的法向量． 学生回忆：以前如何用平面向量解决两直线的位置关系，讨论如何用向量刻画直线的“方向”．

（1）小组讨论，结束后小组派人讲解．得到的答案与有的小组不一样，其他学生问到，谁的答案是正确的．他反问到：这些个答案之间有什么关系？此时同学恍然大悟！

（2）对于①②两小题学生都没有疑问．第③问，该学生给出的答案是：相交或异面．此时，其他组的同学举手示意他们组得到的答案跟该生的不太一样．他们得到的答案是相交或异面，但是不垂直，并说明了理由．这时，做错的学生也意识到了自己忽略了“垂直”这种情况．

小组讨论：如何给平面定“方向”

小组讨论，小组派组员到前面讲解．这位学生运用的是立体几何的方法，先证明 与平面的两条相交直线垂直，从而得到 是平面的一条垂线，进而得到 是平面的法向量．讲解之后这位学生提问：还有其他方法吗？又一位学生到前面讲解．他使用的方法是在空间直角坐标系中，利用数量积的坐标表示证得．最后，之前讲解的那位学生进行总结． 运用类比的方法让学生意识到空间向量与立体几何之间的关系．

探究三：平面的法向量的求法

在空间直角坐标系中，我们还可以用待定系数法来求平面的法向量．

例3 在正方体 中，求平面 的一个法向量．

评：求平面的法向量的一般步骤：

平行练习：已知平面 经过三点A（1，2，3），B（2，0，-1），C（3，-2，0），试求平面 的一个法向量． 学生思考，讨论我提出的问题．几分钟后，有的小组想到可以先设出法向量的坐标，然后利用已知条件求出法向量坐标．

其他同学顺着他的思路开始摸索，最终得到了答案：这个方法是可行的．

学生总结刚才的方法并得出求平面的法向量的一般步骤．

学生自己完成问题． 我先提出个问题：在找不到平面的垂线以及向量的坐标时，例2的方法还可行吗？

让学生知道“求平面的法向量”的必要性． 三、课堂自测

1．已知点A（2，5，-1），B（0，3，1），则直线AB的一个方向向量为 ．