选修2－1《第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程》优秀教案

选修2－1《第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程》优秀教案

答案　(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．

(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．

②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得＝t(A，B∈l)，此方程称为直线的向量参数方程．

(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.

②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置．

[预习导引]

1．用向量表示直线或点在直线上的位置

(1)直线l的方向向量是指与直线l平行或共线的非零向量．

(2)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有＝ta或＝＋ta或＝(1－t)＋t(＝a)，

上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．

(3)线段AB的中点M的向量表达式＝(＋)．

2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件得l1∥l2或l1与l2重合?v1∥v2.

(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理得

l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

(3)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得

α∥β或α与β重合?v1∥β且v2∥β.

3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

(1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则两条直线的方向向量的夹角与θ相等或互补．

(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，l1与l2的夹角为θ，则l1⊥l2?v1⊥v2，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.

要点一　线线垂直的证明

例1　已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.

证明　方法一　(基向量法)

设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得

|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，