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选修2-2数学《第一章 导数及其应用 1.4 定积分与微积分基本定理 1.4.1 曲边梯形面积与定积分》精品课教案
定积分 概念 一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0 几何意义 如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. 基本性质 ? eq ﹨o﹨al(b,a) kf(x)dx=k? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx(k为常数); ? eq ﹨o﹨al(b,a) [f1(x)±f2(x)]dx=? eq ﹨o﹨al(b,a) f1(x)dx±? eq ﹨o﹨al(b,a) f2(x)dx; ? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx=? eq ﹨o﹨al(c,a) f(x)dx+? eq ﹨o﹨al(b,c) f(x)dx(其中a 探究点一 定积分的概念 思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,找一下它们的共同点. 答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决,都可以归结为一个特定形式和的极限. 思考2 怎样正确认识定积分? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx? 答 (1)定积分? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx是一个数值(极限值).它的值仅取决于被积函数与积分上、下限,另外? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,所得值也不同. (2)定积分就是和的极限 eq ﹨o(lim,﹨s﹨do4(n→∞)) eq ﹨i﹨su(i=1,n,f) (ξi)·Δx,而? eq ﹨o﹨al(b,a) f(x)dx只是这种极限的一种记号,读作“函数f(x)从a到b的定积分”. (3)函数f(x)在区间[a,b]上连续这一条件是不能忽视的,它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上,函数连续是定积分存在的充分条件,而不是必要条件). 例1 利用定积分的定义,计算? eq ﹨o﹨al(1,0) x3dx的值. 解 令f(x)=x3. (1)分割 在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个分点,把区间[0,1]等分成n个小区间[ eq ﹨f(i-1,n) , eq ﹨f(i,n) ](i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx= eq ﹨f(i,n) - eq ﹨f(i-1,n) = eq ﹨f(1,n) . (2)近似代替、求和 取ξi= eq ﹨f(i,n) (i=1,2,…,n),则 ? eq ﹨o﹨al(1,0) x3dx≈Sn= eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i=1)) f( eq ﹨f(i,n) )·Δx = eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i=1)) ( eq ﹨f(i,n) )3· eq ﹨f(1,n) = eq ﹨f(1,n4) eq ﹨o(∑,﹨s﹨up6(n),﹨s﹨do4(i=1)) i3= eq ﹨f(1,n4) · eq ﹨f(1,4) n2(n+1)2= eq ﹨f(1,4) (1+ eq ﹨f(1,n) )2. (3)取极限 ? eq ﹨o﹨al(1,0) x3dx= eq ﹨o(lim,﹨s﹨do4(n→∞)) Sn= eq ﹨o(lim,﹨s﹨do4(n→∞)) eq ﹨f(1,4) (1+ eq ﹨f(1,n) )2= eq ﹨f(1,4) . 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程,需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2),从而省略了解题步骤. (2)从过程来看,当f(x)≥0时,定积分就是区间对应曲边梯形的面积.