人教B版选修2－2《第二章 推理与证明 本章小结》优秀教案设计

人教B版选修2－2《第二章 推理与证明 本章小结》优秀教案设计

实际过程：

1．问题出现：

提出例题：设 是正数，求证：下列三个不等式① ；② ；③ 中至少有一个不正确。

先由学生自行思考求解，由问题形式易知，可由反证法进行证明，有学生给出了如下解题过程：

（过程一）证明：假设不等式①、②、③都正确，因为 是正数，

所以由①，②相乘可得 -------------------------④

由③ ，即：

又由②得： ，即 -----------------------⑤

最后由④，⑤结合可得： ，显然矛盾，所以原命题正确。

之后，事先预计的情况没有出现，反而又有学生提出了：

（过程二）既然假设不等式①、②、③都正确，且 是正数，则不防令 ，由此易知①正确，但是②、③都错，所以得到矛盾，假设错误，原命题正确。

可谓“一石激起千层浪”，这一方法的提出马上引来了更多学生的参与和讨论，纷纷质

疑后者的方法，但又总也说不清楚问题出在那里。真是有点雪上加霜的味道了。

2． 问题解决：

作为教师，在上诉情形下，在肯定提出“新方法”同学的思考积极性的同时，我没有马

上给出明确的结论。既然问题来自学生的思考，那就把问题的解决过程也还给学生，让他们

自己思考解决。我具体做了如下工作：

(1)、引导学生明确眼前的问题

目前突出问题是：“过程二是否可行？”由此带来了学生对过程一与过程二的比较。

“过程一具备一般性，过程二是特殊值法有背问题证明的严密性？”（来自学生的声音）

(2)、进一步引申问题：“在这里，用特殊值法真的不严密吗？”于是问题重心转向了证明过程的前提，进而转向了问题的题设“‘假设不等式①、②、③都正确’有问题？”

(3)、问题的进一步升级：“过程一，也有问题？”，学生的思路陷入迷茫，思路回归到了原题。进一步理解原题题意，注意到问题的前提，于是教室里开始出现这样的声音：原题应该是说：“对于任意正数 取正值时，不等式①、②、③不都正确。”因此反证法的假设应该是：“存在正数 使得不等式①、②、③都正确。”

(4)、明析问题，我开始进一步小结回归基本知识：用反证法证明问题的实质就是证明原命题逆否命题。原命题与其逆否命题是等价的，这是反证法存在的基础。就本题而言原题是：“如果对于正数 任意取正值，那么不等式①、②、③不都正确。”其逆否命题是：“如果不等式①、②、③都正确，那么不存在全为正数的 。”在这样的基础知识的情况下问题求解的正确与否得到了明确。

(5)、明确原题严谨的证明方式：

证明：假设存在正数 使得不等式①、②、③都正确，