选修4-1 几何证明选讲《第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.3 圆幂定理与圆内接四边形 1.3.1 圆幂定理》优秀教案

选修4-1 几何证明选讲《第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.3 圆幂定理与圆内接四边形 1.3.1 圆幂定理》优秀教案

圆幂定理是相交弦定理和切割线定理的进一步深化。它是作为解决有关圆中比例线段，切线长等问题的有力依据。在本章节中属于中等难度。由于我校学生的基本素质比较好而且从高一一入学教师就已经通过各种形式着重培养学生的自主学习和合作学习的能力，经过两年的培养学生已经有了一定的自学能力和解决问题的能力，所以本节课我采用课前预习，课堂展示，小组研讨的形式来完成。将相交弦定理、切割线定理的内容和简单应用列为课前预习的内容，将各定理间的关系、圆幂定理的形成及综合应用列为本节课要重点解决的内容。基于以上的想法，我在课前预习这一环节中设计了这样的问题

导学案：

预习教材22页相交弦定理和切割线定理，并利用定理完成下面的练习

（1）已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm求第二条弦被交点分成的两段的长。

（2）如图2已知： 的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求BD的长。

学案中的练习1选自教材第23页例1.它是相交弦定理的基本形式，教材想通过例1的练习让学生对相交弦定理能够做到简单的应用，由于学生有一定的自学能力，所以我将这道题拿来作为课前预习中的第一道练习，让学生预习定理后对定理有一个更进一步的认识。

学案中的练习2选自教材第26页课后练习2，本题是切割线定理的直接应用。属于简单题，学生通过预习切割线定理后有能力完成这道题。

通过以上两个练习，学生能对上述两个定理有了一个初步的认识，然后通过课堂上的展示过程对这部分内容会有更进一步的了解。通过这一过程培养学生自主学习的能力和解决问题的能力。通过小组展示激发学生的学习兴趣。

数学源于生活，又回归于生活。例题的设计要从学生的生活经验和已有的知识出发，从熟悉的生活环境中,选取发生在学生身边的素材，给学生提供实践活动的机会。基于以上的观点我在设计课前引例的时候注重从学生感兴趣的实物、实情、实事入手，创设生动有趣的情景，激发学生的兴趣。于是我设计了下面的课前引例

引例：无线电通讯让我们的生活变得多姿多彩，这些都应该归功于通讯卫星，中国的第一颗静止轨道通讯卫星是1984年4月8日发射的，命名为“" 东方红二号 ”，位于地球赤道上空36000千米处。地球的半径是6400千米，同学们你能计算出通信卫星的信号最远能达到地球表面多远处（距通讯卫星）吗？

通过本例题的设置我首先想培养学生数学建模的思想，本题转化成数学问题其实就是求圆外一点向圆引的切线长。同时我考虑到学生的能力还是有一些差异所以我设计了这样一个既能用勾股定理来解决也能用切割线定理来解决的问题。

满足了不同层次学生的要求。

在学生熟悉并能应用两个定理解题后，我又提出这样的问题，（1）相交弦定理中的交点P若在圆上或圆外还会有结论 成立吗？为什么（2） 的大小和P点的选择有关吗？如果P为定点那么 是定值吗？组织学生进行小组讨论后并请得出结论的小组到前面展示讨论的结果。通过小组讨论学生容易得到当P在圆上时，两个乘积均为0，所以结论成立。当点P在圆外时， 均为过点P的圆的切线长的平方，所以等量关系依然成立。在解决问题2时学生也会容易发现当P点在圆外时有 。观察 的值是个定值，只要点P的位置确定 的值就唯一确定。点在圆上时 =0，依然是定值。当点P在圆内时 是否为定值，是多少，学生在讨论的过程中可能会存在问题。对于展示的同学对这部分的讲解或许有不到位的地方。这时老师可以通过几何画板的动态演示，拖动点B让弦ＡＢ绕P点不断变化，从直观上让学生认识到 是个定值，并引导学生找到一个最好求值的位置，即和ＯＰ垂直时求出 。这样的动态演示会让似懂非懂的同学马上有了一个清晰的认识。然后我将学生得到的上述三个结论综合到一起得到了圆幂定理。在给出圆幂定理后教师再次利用几何画板对各定理之间的联系做动态的演示。当P点在内部时是相交弦定理，当P点在外部时是割线定理，当两点A,B重合时是切割线定理。

运动带来变化，也因此带来趣味。学生在运动变化中分析给定的数量关系，找到其中的不变量，发现一些特殊位置的特殊关系，这对培养学生分析问题的能力提供了很大的帮助。而从数学发展来看，揭示图形的不变量，是几何研究的一个重要内容。这个过程的设计使学生充分的理解了相交弦定理、切割线定理、圆幂定理间的相互关系，同时通过各小组的讨论交流培养了学生的合作学习的能力，通过问题解决提高学生探究问题和解决问题的能力，通过运动的观点解读圆幂定理让学生更进一步理解事物是相互联系的哲学思想。

一个好的数学例习题应该：

?（1）具有科学性和针对性；

????（2）具有层次性和梯度性（学生可以接受的，不需要大量的技巧）；

???（3）?蕴涵了好的思想或方法；

????（4）具有探究性和开放性。

而上述标准都在课本例题中得到很好的体现，于是在学生自主探究得到圆幂定理后我选择了教材上第24页的例3作为本节的例题1。

例1 已知：如图1，在圆O中，C是圆O上异于A,B的一点，弦AB的延长线与过点C的切线相交于P，过B做圆O的切线交CP于点D，且 ，CD=3，PD=4.求圆O的弦AB的长。

课本例3主要考察的是切割线定理，虽然综合了切线长和勾股定理，但都属简单应用，学生有能力完成，通过课本例题不仅培养学生对定理的综合应用的能力，也同时培养学生的数形结合的思想。

为了让学生更好的认识图形进一步深化数形结合的思想，理解定理并做到灵活应用，我于是以课本例3的图形为载体将条件稍作改变得到了以下几个变式

题目黑体字不变，去掉线段BD，得到第一个变式，10年湖南的高考题

变式1：(2010湖南10)PC=4，PB=2，求弦AB=