人教B版数学选修4-4 坐标系与参数方程《第一章 坐标系 1.5 柱坐标系和球坐标系 1.5.1 柱坐标系 [图形演示]柱坐标系》优质课教案

人教B版数学选修4-4 坐标系与参数方程《第一章 坐标系 1.5 柱坐标系和球坐标系 1.5.1 柱坐标系 [图形演示]柱坐标系》优质课教案

2．直角坐标与柱坐标的转化

空间点M的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 eq ﹨a﹨vs4﹨al(﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝ρcos θ，,y＝ρsin θ，,z＝z.)))

[小问题·大思维]

1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？

提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．

2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？

提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．

eq ﹨a﹨vs4﹨al([对应学生用书P14])

[例1]　已知空间点M的直角坐标为(4 eq ﹨r(3) ，4,3)，求它的柱坐标．

[思路点拨]　本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法．解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．

[精解详析]　由公式 eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝ρcos θ，,y＝ρsin θ，,z＝z，))

得ρ2＝x2＋y2，z＝3.

∴ρ2＝(4 eq ﹨r(3) )2＋(4)2＝48＋16＝64.

∴ρ＝8.

tan θ＝ eq ﹨f(y,x) ＝ eq ﹨f(4﹨r(3),4) ＝ eq ﹨r(3) ，又x>0，y>0，点在第一象限，

∴θ＝ eq ﹨f(π,3) .

∴点M的柱坐标为 eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(8，﹨f(π,3)，3)) .

已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ.要注意求出tan θ，还要根据点M所在的象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．

1．点M的直角坐标为( eq ﹨r(3) ，1，－2)，则它的柱坐标为(　　)

A. eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(2，﹨f(π,6)，2)) 　　　　　　　　 B. eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(2，﹨f(π,3)，2))

C. eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(2，﹨f(π,6)，－2)) D. eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(2，－﹨f(π,6)，－2))

解析：选C　∵ρ＝ eq ﹨r(?﹨r(3)?2＋12) ＝2，tan θ＝ eq ﹨f(1,﹨r(3)) ＝ eq ﹨f(﹨r(3),3) ，