人教B版选修4-5 不等式选讲数学《第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式 2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式》优秀教学设计

人教B版选修4-5 不等式选讲数学《第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式 2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式》优秀教学设计

方 法 通过平面向量的数量积的性质，探究发现柯西不等式及其变式，并用柯西不等式证明简单的不等式、求一些简单函数的最值． 情 感

态 度

与 价 值 观 通过对柯西的了解，以及关于柯西不等式的学习方法的介绍，激发学生学习数学的兴趣． 重点 柯西不等式及其应用． 难点 柯西不等式的灵活应用． 教学用具 板书、PPT

教

学

过

程

教学环节 设计意图 备注 活动1：创设情境、激发兴趣 通过对数学家柯西的介绍，向学生渗透数学史的有关知识，激发学生的学习兴趣，同时引出本节课的主题．

简要介绍法国大数学家柯西的生平及其在科学领域的主要贡献．

柯西(Cauchy, 1789—1857)是法国数学家、物理学家、天文学家。他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式、柯西中值定理。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书。

柯西不等式是由柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。 活动2：探索研究、发现定理 通过不同方法证明柯西不等式，发散学生的思维，从不同的角度理解柯西不等式.两种方法结合，将知识之间建立起了联系，增加学生对知识的理解．

定理1：(柯西不等式的代数形式)设 都是实数，则 ，当且仅当 等号成立.

问：如何证明这个不等式？

答：比较法.证明：

.

问：如何记忆这个不等式？

师：柯西不等式形式上非常美观，简单记就是平方和的乘积不小于对应项乘积和的平方.为了更好地记忆公式，我们来回顾一下平面向量的知识.

在平面向量中，有不等式 .已知两非零向量 和 ，把数量 叫做 和 的数量积， ．所以 ，又 ，所以 ，当且仅当 和 共线时，等号成立．规定：零向量与任一向量的数量积为0．所以 成立

记 ， ，不等式中 ， ， ，由 成立可以得出要 成立，由 和 共线

在证明的过程中，我们证明了这样的一个不等式： ，这也就是今天要学习的定理2：平面上的柯西不等式的向量形式. 活动4：牛刀小试，运用定理 利用柯西不等式求一些简单函数的最值．解决问题的关键是准确把握柯西不等式的结构特点．另外，通过给学生呈现解题过程强调无论是证明不等式还是求函数的最值，必须要指明等号成立的条件．

例1.填空

注：（3）填法不唯一，要结合题目中具体的环境.

例2. 设 ，求： 的最大值；