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选修4-5 不等式选讲数学《第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法》精品课教案
[知识链接]
1.在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？
提示 不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤①，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定.同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.
2.利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？
提示 第二步实际上是证明一个条件命题：“假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立”，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了.
[预习导引]
1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.
2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当n取初始值n0时命题成立；
(2)假设当n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.
要点一 用数学归纳法证明恒等式
例1 用数学归纳法证明：
(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)·(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3).
证明 (1)当n＝1时，左式＝1·22－2·32＝－14，
右式＝－1·2·7＝－14.等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，
即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)，
则当n＝k＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[(4k2＋12k＋9)－(4k2＋6k＋2)]
＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)(6k＋7)
＝－(k＋1)·(4k2＋15k＋14)
＝－(k＋1)(k＋2)·(4k＋7)
＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3].
说明当n＝k＋1时，等式成立.
由(1)(2)可知等式对任何自然数n都成立.