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人教B版数学选修4-5 不等式选讲《第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法》优质课教案
3.理解放缩法证明不等式的常用技巧.
【教学重点】理解并掌握放缩法证明不等式
【教学难点】应用放缩法证明不等式，掌握放缩法证明不等式的技巧
【课堂设计】
【导入新课】：不等式的证明是中学数学教学的重点，也是学生学习时的难点。不等式的证明方法很多，如：比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法和放缩法等。前面我们已经学习了一些方法：比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法等，下面我继续学习证明不等式方法---放缩法。
所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，以达到证明结果的方法。利用放缩法证明不等式，需要掌握放缩法的基本方法和技巧，做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法。
【典型例题】
例1. 分式放缩
若a，b，c，d是正数．求证：
小结例1.
（1）所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，
（2）所谓放缩的技巧：即欲证 ，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使 ，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。
（3）使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
（4）分式放缩：一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
【变式练习1】 已知a、b、c为三角形的三边，求证： 。
例2.裂项放缩：已知n∈N*，求 。
【变式练习2】、求证： （n∈N*,n>1）
例3. “添舍”放缩：
已知：a、b、c是正实数，求证：
【变式练习3】：. 已知a、b、c不全为零，求证：
例4公式放缩： 求证：
【变式练习4】：若 求证：
【总结提升】
用“放缩法”证明不等式的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。