人教B版数学选修4-5 不等式选讲《第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1数学归纳法原理 3.1.1 数学归纳法原理》优质课教案

人教B版数学选修4-5 不等式选讲《第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1数学归纳法原理 3.1.1 数学归纳法原理》优质课教案

数学归纳法名为归纳法，实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法“这个名字是随便起的”.归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.

数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”.

二、教学目标

1.通过对具体问题的解决思路探寻，了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，在此

基础上归纳概括出数学归纳法证题的两个步骤.

2.体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的恒等式.

3.了解通过“观察”“归纳”“证明”来发现定理的基本思路.

三、教学问题诊断

认知基础：

（1）对正整数的特点的感性认识；

（2）对“无穷”的概念有一定的认识和兴趣；

（3）在数列的学习中对递推思想有一定的体会；

（4）在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实；

（5）了解归纳法、演绎法等推理方法以及分析法、综合法等证明方法，具有了一定的逻辑知识的基础.

难点或疑点：

但数学归纳法作为一种证明的方法，且不论其方法的结构形式，运用技巧，就是对其自身的可靠性，学生都有一定的疑虑，具体可能会体现在以下一些方面：

1.数学归纳法所要解决的是无穷多个命题P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒为真的问题，由此造学生在理解上的两点困难：（1）对“无穷”的模糊认知和神秘感；（2）对于一个关于正整数n的命题P(n)，会难以将其看作是一个随自变量n变化的“命题值函数”.

2.为什么要引进数学归纳法？验证为何不可行？

3.数学归纳法的两步骤中，对第二步的认识往往难以到位.将解决由P(k)到P(k+1)的传递性问题，误解为证明P(k+1)的真实性.由此造成对证明中何以用“假设”的不理解.

4.数学归纳法的第二步中由k到k+1的递推性应保证k从第一个值时的任意一个整数都能成立,由此只要第一个值成立，就能确保可以一直递推下去.

5.数学归纳法中的递推是一种无穷尽的动态过程，学生对于不断反复地运用步骤二来进行推理的模式缺乏清晰的认知.

数学归纳法运用时对起点可作适当的偏移，对第二步的证明有一定的技巧，这些都可以留置下一课进行深入分析，本课侧重解决对数学归纳法基本原理和两步骤的初步理解.

突破的关键：

由于中学阶段对数学归纳法的教学缺乏理论基础，因此学习的关键是通过对具体问题的解决，提炼出方法的一般模式。在经历问题的提出、思考的过程，通过具体的事例、直观的模型中加以抽象概括，从而逐步加深对数学归纳法原理的理解。

(1)借助数列