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人教B版选修4-5 不等式选讲数学《第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式 2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明》优秀教学设计
1．我们共同回忆上节课学习的二维形式的柯西不等式内容？
设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a eq ﹨o﹨al(2,1) ＋a eq ﹨o﹨al(2,2) )(b eq ﹨o﹨al(2,1) ＋b eq ﹨o﹨al(2,2) )≥(a1b1＋a2b2)2，当且仅当a1 b2＝a2 b1时，等号成立．
2．运用类比推理我们能否归纳出三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3为实数，则(a eq ﹨o﹨al(2,1) ＋a eq ﹨o﹨al(2,2) ＋a eq ﹨o﹨al(2,3) )(b eq ﹨o﹨al(2,1) ＋b eq ﹨o﹨al(2,2) ＋b eq ﹨o﹨al(2,3) )≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当 (当某bi＝0时，认为ai＝0，i＝1，2，3)时，等号成立．
3.用同样的方法我们能否得到一般形式的柯西不等式呢？
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a eq ﹨o﹨al(2,1) ＋a eq ﹨o﹨al(2,2) ＋…＋a eq ﹨o﹨al(2,n) )(b eq ﹨o﹨al(2,1) ＋b eq ﹨o﹨al(2,2) ＋…＋b eq ﹨o﹨al(2,n) )≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当 (当某bi＝0时，认为ai＝0，i＝1，2，…，n)时，等号成立．
二．探究原理：（理解定理，证明定理，掌握定理）
1．对柯西不等式一般形式的说明：
一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．
2．关于柯西不等式的证明：
对于函数f(x)＝(a1x－b1)2＋(a2x－b2)2 ＋…＋(anx－bn)2，
显然f(x)≥0时x∈R恒成立，我们对其展开并合并同类项整理得， 对x∈R恒成立，
∴Δ＝ ，移项不等式两边同除以4得
3．一般形式柯西不等式成立的条件：
由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0?f(x)min＝0?a1x－b1＝a2x－b2＝…＝anx－bn＝0?b1＝b2＝…＝bn＝0，或 eq ﹨f(a1,b1) ＝ eq ﹨f(a2,b2) ＝…＝ eq ﹨f(an,bn) .
三．知识应用（证明与求最值）
例1．用柯西不等式证明
证明：取两组数 ； ，则由柯西不等式有
因为
所以
练习1．（原形训练）设 为不全相等的正数,
求证:
证明:取两组数
于是 ,则