选修1-1数学《第3章 导数及其应用 3.1 导数的概念 3.1.2 瞬时变化率-导数 导数》精品课教案

选修1-1数学《第3章 导数及其应用 3.1 导数的概念 3.1.2 瞬时变化率-导数 导数》精品课教案

(1)定义

设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值 eq ﹨f(Δy,Δx) ＝____________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．

(3)导数的物理意义：函数s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，是物体的运动方程s＝s(t)在t0时刻的瞬时速度v，即v＝__________；v＝v(t)在点t0处的导数v′(t0)，是物体的运动方程v＝v(t)在t0时刻的瞬时加速度a，即a＝____________.

3．函数f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内任一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y′或f′(x)．

4．基本初等函数的导数公式表

原函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝____ f(x)＝xα (α为常数) f′(x)＝______ (α为常数) f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax (a>0，a≠1) f′(x)＝______(a>0，a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax

(a>0，a≠1，且x>0) f′(x)＝__________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ 5.导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；

(2)[f(x)g(x)]′＝________________；

(3) eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(f?x?,g?x?))) ′＝________________________ [g(x)≠0]．

6．复合函数的求导法则：若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.

自我检测

1．已知物体的运动方程为s＝t2＋ eq ﹨f(3,t) (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为________．

2．设y＝x2·ex，则y′＝______________.

3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝ eq ﹨f(1,2) x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.

4．若函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是 eq ﹨f(3,2) ，则切点的横坐标是________．

5．已知函数f(x)＝f′( eq ﹨f(π,4) )cos x＋sin x，则f( eq ﹨f(π,4) )＝________.

探究点一　利用导数的定义求函数的导数

例1　利用导数的定义求函数的导数：

(1)f(x)＝ eq ﹨f(1,﹨r(x)) 在x＝1处的导数；

(2)f(x)＝ eq ﹨f(1,x＋2) .

变式迁移1　求函数y＝ eq ﹨r(x2＋1) 在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．