选修1-1《第2章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质》优秀教案

选修1-1《第2章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质》优秀教案

理解离心率对双曲线开口大小的影响，能说出其中规律。

过程与方法：培养学生的观察力、想象力、数形集合能力和研究问题能力，以及类比学习方法。

情感态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交流的意识、改变学习方式、改善数学学习信念。

二、教学重点、难点

重点：双曲线的离心率和渐近线。

难点：双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系。

三、教学过程

(一)复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2．双曲线的两种标准方程是什么？

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．

(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)

引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格

(三)渐近线

双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系呢？

根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系。

观察双曲线－=1在第一象限的图像（图2-3-4），对其上任一点M（x,y）,当x逐渐增大时，点M到直线y=x的距离逐渐减小，当x无限增大，距离接近于零，这说明，随x的增大，双曲线在第一象限内的点与直线y=x逐渐接近。根据双曲线的对称性，双曲线－=1的各支向外延伸时，与直线y=x和y=-x逐渐接近．

一般地，对双曲线，当它的各支向外延伸时，与直线逐渐接近,但始终不想交。我们把两条直线叫做双曲线的渐近线。

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，X=y即y=x

定义：直线叫做双曲线的渐近线。直线y=x叫做双曲线—=1的渐近线.

例如作双曲线-=1的图像先作渐近线y=,再描几个点，就可以画出比较精确的双曲线。

在双曲线中，如果a=b那么方程可化为。此时，双曲线的实轴长与虚轴长都等于2a,且两条渐近线互相垂直，实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线。

(四)离心率

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

1.双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，记为e且e>1.

2由于，所以e越大，也越大，即渐近线 y=x的斜率绝对值越大.这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．