选修1-1数学《第3章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用》精品课教案

选修1-1数学《第3章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用》精品课教案

教学难点：数学模型的建立．

教学过程：

一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

二．新课讲授

例1．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

例2．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使体积最大？

例3，强度分别为a，b的两个光源A，B间的距离为d，试问：在连接两光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8，b=1，d=3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）

三．巩固练习

1．把长为100 cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？ 变：若围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？

3．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积 ）

解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，高为

由3.2﹣2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，

设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.5）（3.2﹣2x）（0＜x＜1.6）

整理，得y=﹣2x3+2.2x2+1.6x，

∴y'=﹣6x2+4.4x+1.6

令y'=0，有﹣6x2+4.4x+1.6=0，即15x2﹣11x﹣4=0，

解得x1=1， （不合题意，舍去）．

从而，在定义域（0，1，6）内只有在x=1处使y'=0．

由题意，若x过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y值很小（接近0），

因此，当x=1时y取得最大值，y最大值=﹣2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2﹣2×1=1.2．

答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3．

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