选修1-1《第3章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用》优秀教案

选修1-1《第3章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用》优秀教案

新课导学

师：让我们回归到生活。大家先看一下这里的这张照片。在这张图片中显示的两种不同口味的可乐，想必很多同学之前已经喝过。不知道大家有没有注意过这两罐可乐的体积，它们体积是相等的都是330ml。从所用材料上来看，哪个用料最省呢？大家可以讨论一下，讨论完之后，进行投票。

投票

选择蓝罐可乐用料最省的，请点击选项1

选择鬼爪可乐用料最省的，请点击选项2

师：从投票结果来看，选择蓝罐可乐的是压倒性的胜利。大家的选择是否正确呢？那我们就来做一下验证。

学生活动一：探索建模

例：某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底面的半径，使得所用材料最省？

师：既然这两罐可乐的体积是相等的，也就是可以看作是个定值。让我们来算一算，当它的高与底面半径的关系如何时，才能使得用料呢？这里的用料最省，其实就是来解决这个圆柱体的什么？

生：圆柱体的表面积最小。

师：表面积如何表示？

生：

师：侧面积又可以写成？

生：

师：底面积呢？

生：

师：在这个式子中有两个未知量，我该怎么办？

生：因为这两个罐子的体积是相等的，所以我可以用表示。

师：你是想利用这个表达式代入进来达到什么目的？

生：只有一个未知量

师：也就是达到消元的目的。很好，根据刚才他所说的体积是一定的。那先把体积表示出来，你是想用表示，还是表示？

生：消

师：为什么？

生：消不用开根号

师：如果我消,代入进这个等式会带根号，相对来说这个式子会更复杂。利用刚才这位同学提供给我们的方法，可以把表示出来，代入进上面这个表达式，得到关于的复杂函数。接下来就可以利用导数来解决这个问题。我们再来回忆一下，前面一节课我们已经学习了如何利用导数求函数的最值，请一位同学说说看。