苏教版选修2-1数学《第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的应用 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量》优秀教学设计

苏教版选修2-1数学《第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的应用 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量》优秀教学设计

教学过程：

一、问题情境

在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系；在空间向量中，我们借助空间向量研究了空间内两条直线平行、垂直等位置关系，那么，能否借助空间向量刻画空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系呢？

二、概念讲解

空间线面的位置关系中，角反映了它们在方向上的差异。因此，用向量来刻画这种差异，就先要规定直线和平面的“方向”。那么，如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？

1. 直线的方向向量：我们把直线 上的方向向量 以及与 共线的非零向量叫做直线 的方向向量.一条直线 有__________方向向量,这些方向向量____________.

2.直线方向向量的求法：可根据直线 上的任意两点的坐标写出直线 的一个方向向量，如已知直线 上的两点 、 ，则 、 均是直线 的方向向量.

3.平面的法线：与平面垂直的直线叫做平面的法线

4.平面的法向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量 垂直于平面 ，记作 .向量 叫做平面 的法向量.

注：(1)平面的法向量就是平面法线的方向向量；

（2）平面的法向量有_____个；过一个定点作平面的法向量有____个.

三、典型例题

例1.在长方体 中， ， ， ，写出下列直线的方向向量(1) _________； _________； _________；

（2） _________； _________； ________；

（3） ________； _________

________； __________

例2.在正方体 中，求证： 是平面 的法向量。

总结：

变式训练1：在正方体 中，求平面 的一个法向量。

解：设平面ACD 的一个法向量为

则 从而

因为 ，所以

解方程组 得到 不妨取 ，则

所以， 就是平面ACD 的一个法向量。

总结：求平面的法向量的方法—