苏教版选修2-1数学《第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的坐标表示》优秀教学设计

苏教版选修2-1数学《第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的坐标表示》优秀教学设计

师：（PPT投影）在正方体 中， 分别是 ， 的中点，以 为基底表示下列向量：（1） ，（2） ，（3） ．

生：（思考、口答）（1） ，

（2） ，（3） ；

师：（4） ？（ 为空间任意一点）

生：（思考，陷入困境）

师：回看刚才的 你是如何表示的？

生：（恍然大悟！）过 作面 的垂线，垂直为 ，则 ．（此时，掌声响起来！）

（学生口答的过程中教师在黑板上板书四个向量的线性表示）

师：Very good！在空间，只要选定一组基底，那么，空间任一向量可以用它们来表示，而且表示是唯一的．

【设计意图】回顾空间向量基本定理，让学生体会表示的“唯一”性，为空间向量可用坐标表示奠定基础．同时提出空间向量基本定理是由平面向量基本定理从“二维”到“三维”的推广，为本节课类比思想的应用铺垫．

师：在《必修2》《解析几何初步》最后一节，同学们学习了空间直角坐标系．建立适当的坐标系，空间的点与坐标之间也建立的唯一的对应关系．

师：（PPT投影）在正方体 中， 分别是 ， 的中点，设棱长为1，建立适当的坐标系，并写出点 ， ， ， 的坐标．

生：建系，写坐标，口答．

（教师在前面线性表示后面对应位置板书点的坐标．同时分析空间几何体如何建系）

师：当正方体的棱长为1时，刚才的基底即为单位正交基底．观察线性表示与点的坐标，你有什么发现？

生：空间点的坐标就是以 为基底线性表示时基底前面的系数．

【设计意图】通过建系，写出点的坐标，让学生体会空间的点与坐标也是一一对应的．通过学的观察线性表示的系数与点的坐标的关系，让学生初步感受空间向量可用坐标表示的合理性．

师：这位同学观察问题很细致！由前面的学习我们知道，基底确定后，线性表示是唯一的，而空间直角坐标系确定后，点的坐标也是唯一确定的．这让我们联想到，平面内向量可以用坐标表示．那么空间向量能否也用坐标表示？这就是本节课我们要研究的“空间向量的坐标表示”．（板书课题）

1．2类比推理 建构数学

师：平面向量坐标表示是怎么定义的？

生：（回忆，口答）在平面直角坐标系 中，分别取与 轴、 轴方向相同的单位向量 ， ，对于平面内任一向量 ，由平面向量基本定理，存在唯一的有序实数对 ，使得 ，我们把序实数对 叫做向量 的坐标，记作 ．

师：你能类比平面向量的坐标表示，给空间向量坐标表示下个定义吗？

生：类比，总结，口答．

师：补充，完善．板书：空间直角坐标系 中，分别取与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量 ， ， ，对于空间内任一向量 ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使得 ，我们把序实数对 叫做向量 的坐标，记作 ．

生：（此时，一生站起来）由此可见，空间向量的坐标就是平面向量的坐标增加了一个“ 坐标”．即是平面向量从“二维”到“三维”的推广