苏教版数学选修2-1《第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量基本定理》优质课教案

苏教版数学选修2-1《第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量基本定理》优质课教案

【教学难点】

空间向量基本定理的证明．

【教学方法】

启发式、探究式

【教学过程】

一．创设情境

共线向量定理：

对空间任意两个向量 ， 与 共线的充要条件是存在实数 ，使 ．

共面向量定理：

如果两个向量 不共线，则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数组 ，使得 ．

平面向量基本定理的内容及其理解

如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，

使

问题1：这种线性表示是否惟一？

问题2：定理是如何推导的？

平面向量基本定理及其证明，其证明过程为：

　　①平移：将 平移成同一始点的向量。

②平行投影：过 平移后所得向量的终点分别作 平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，得 在 方向上的分向量。

③依据共线向量定理，分别用 表示 在 方向上的分向量。

④求分向量的和，代入，定理得证。

二．活动探究

问题3：两个不共线的向量能否表示空间任一向量？

问题4：空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗？

问题5：通过类比，你能得出空间向量基本定理的内容吗？