选修2-1数学《第2章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线》精品课教案

选修2-1数学《第2章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线》精品课教案

椭圆、抛物线、双曲线的定义．

【学习难点】

用Dandelin双球推导椭圆的定义；

（2）用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义．

【教学过程】

（一）创设情境，提出问题

问题情景：中国航天事业发展迅速，习近平指出：“飞天梦是中国梦的重要组成部分.”那么航天器到底沿怎样的轨道飞行的呢？这就与宇宙速度有关：

所谓宇宙速度就是从地球表面发射飞行器时，飞行器环绕地球、脱离地球和飞出太阳系所需要的最小速度，分别称为第一、第二、 第三宇宙速度 ，大小分别为 7.9 千米/秒、11.2 千米/秒和16.7 千米/秒．

学生前不久刚学习了开普勒的三大定律，知道行星运动在椭圆轨道上，然而当运动速度发生改变时，如发射卫星以不同的速度，会有怎么样的运动轨道呢？从这里引出新旧知识之间的联结与冲突，激发学生的学习动机.

问题1：卫星以不同的宇宙速度发射后会沿着怎样的轨迹飞行呢？

通过观察与直观感受，当速度从第一宇宙速度逐渐加大后，卫星将逐步脱离地球的束缚，而轨道也将逐渐由封闭的椭圆（7.9km/s-11.2km/s），渐变为抛物线（11.2km/s）与双曲线（大于11.2km/s）.由此引出圆锥曲线的定义，为后续研究给予直观形象的经验.

圆锥曲线的定义：椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.

问题2：生活中见到过这样的形状吗？圆锥曲线是如何产生的呢？

通过联结学生的生活经验，回忆身边出现过的类似曲线.如学生举出了学校喷泉、投篮时篮球的飞行轨迹，张家港市东莱发电厂的冷凝塔，张家港市科技馆中的单页双曲面.竟然生活中随处可见，那么这些曲线又有哪些奥秘呢？由此引出圆锥曲线的起源与发展.

历史寻根，建构数学

古希腊时期，为了解决三大数学问题之一的“倍立方积”问题，即用尺规作图做出一个新的立方体，使得它的棱长 与原立方体棱长 之间满足： .数学家发现只需寻找到满足 ，即 ，满足这样的比例中项 即可解决.进一步发现用平面截圆锥能得到相关的线段关系：

问题3：用平面沿着不同的角度截圆锥面，所得的截线是怎样的轨迹？

通过圆锥曲线的历史起源，重现这一过程，体会并了解圆锥曲线的产生过程，其实这是圆锥曲线最原始的截线定义.

用不经过圆锥面的顶点的平面截圆锥面时，当截面与圆锥面的轴所成角 与轴截面顶角的半角 具有不同的关系时，截线分别为：

(椭圆：

(双曲线：

(抛物线：

问题4：圆锥曲线在科研、生产与生活中都有广泛的应用，那么它到底有怎样的性质使得它如此重要？

截线定义是通过平面截圆锥面得到的直观的曲线，然而要想深入研究它，更需要建立确切的数量关系，从形到数的过渡，实现了从直观到抽象的第一次思维升华.

鉴于形的不足，学生将不满足于圆锥曲线的截线定义，进一步来探究圆锥曲线中隐含的数量关系，引出圆锥曲线的距离定义.